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错了。希尔伯特公理体系中，的确有这个定理。

见《几何基础》第一章第4节定理8）；平面上的任意一条直线a将该平面上其余的点分为两个区域，一个区域的每一点A和另一区域的每一点B所确定的线段AB内，必含有a的一个点，而同一个区域的任意两点A和A’所确定的线段AA’内，不含有直线a的点。有了这个定理，我们可以定义平面上直线a的同侧或异侧。

高。

HLA宇宙新学

HLA

Just what i said, there were 2 cases in witten’s paper. For the quantization of CS on \Sigma\times I, he did not used the path integral. He used the geometric quantization!!

For some special systems we indeed know how to define the path integral, especially the systems containing good moduli spaces, e.g. the instantons in mirror symmetry. “没人能把路径积分在数学上严格化” is only true for generic system in my opinion. Because we do not know the measure. That is also the reason that people usually can not find all the information of our system. But the reason that mathematicians thought physics is amazing is that after defining some reasonable measure on certain moduli space the rigorous math result is same as physics one.

没有认为你在否认10L说的啊。44L最后一句，是重申20L原本的动机，没有别的意思。

haha:

Witten的那一篇文章从物理学家的观点是够数学、够严格的；从数学的观点其结果都是正确的，但逻辑上不够严格。所以后来不少数学家所做的工作都是在严格证明Witten的结果。他们的出发点皆非路径积分，因为还没人能把路径积分在数学上严格化。这是Atiyah为何采用公理化方法来定义拓扑量子场论的原因。他的公理体系，就是绕过路径积分的概念，把Witten文章中的直觉直接化为公理 — 和欧氏”几何原本“的精神一致。

你说的其他一切，均无异议。

I do not think so. In witten’s paper he discussed 2 cases, one is the quantization of CS on \Sigma\times I. For this case his method and result are rigorous. Because in this case he and his student used the geometric quantization, which was published on J. Diff. Geom. And later hitchin published a paper on Comm. Math. Phys. to investigate the details about the independence of polarization.

The other case is the pert. for the arbitrary 3d manifold. For this case he got some invariants, if i remember rightly. And later Kontsevich and witten’s another student investigated the details and Kontsevich made clear about the relation between homology of graphs with the 3d invariants.

Furthermore, I did not check witten’s paper again to see what his work in that paper is exactly. So maybe there is some mistake in above words for Witten’s work in that paper. But if we use the general point of view, i believe my words are right.

欢迎。

理解你的朋友去学法语，兰波那么大名声，翻译过来的诗没法看，只好学法语。

NahuaK：

没问题。

Yes, you are right. The perturbative theory of CS is the non-rigorous point of that paper.

什么工作获奖的）。我也并没有否认10L说的啊。再说我也是学物理的，当然不会

认为直觉不重要了，不然我崇拜爱因斯坦做啥？^_^

一个设想，万一黎曼不存在，爱因斯坦又达到witten级别的数学水平，那么新数学估计是爱因斯坦的吧。

Atiyah力推Witten得菲尔兹大奖，是因为Witten的拓扑量子场论，包括三维的Chern-Simons场论和四维的twisted超对称Yang-Mills场论，建立了物理（量子规范场理论）和数学（低维拓扑）之间的一座新的桥梁，大大推动了低维拓扑的发展。Atiyah出面的一个重要原因是，Witten1988年接连的两个工作，解决了Atiyah本人前一年提出的有关低维拓扑的两大问题。1987年5月在美国数学学会(AMS)纪念 Hermann Weyl 的会议上Atiyah作报告时，大概没有人想到这两大问题会被Witten这样快都给解决了。 尽管如此，数学界当时不少人对Witten的工作并不怎麽服气。真服了是在1994年之后的事。

我提此事的目的无非是想说，既使对崇尚逻辑和推理的数学而言，很多重大的成就也是由好的直觉（而非单纯的逻辑）开路的。印证一下10楼的观点而已。

Of course, ‘Quantum Field Theory and the Jones Polynomial’
is a very beautiful paper. But mathematician cannot accept
the definition of link invariants and the invariants defined using
path integral as mathematically rigorous. Later these were defined using quantum group.

Atiyah力推Witten得菲尔兹大奖，是因为Witten的拓扑量子场论，包括三维的Chern-Simons场论和四维的twisted超对称Yang-Mills场论，建立了物理（梁子规范场理论）和数学（低维拓扑）之间的一座新桥。

对，中国人还没有学会如何朗诵新诗，朗诵的方法都是CCTV式的，夸张和虚假，让人觉得有虚张声势的感觉，从而将原来的诗意完全曲解。

另一方面，中国传统的吟诗的方式似乎没有人会了。

原来学到《再别康桥》，我的老师给了3个版本的朗诵。前两个已经不知道是谁的朗诵了，只知道听后鸡皮疙瘩起了一身，有点恶心。反而是黄磊的那个版本，才让我有一种舒服的感受。
咱们现在从小学就开始教授那种做作的朗诵方式，我当时很擅长做作朗诵，老师特别喜欢。真不知道以后大家写诗要怎么写了，朗诵影响诗歌的创造。
把做作的朗诵融入诗歌中，同样恶心……

Death Fugue

Black milk of daybreak we drink it at evening
we drink it at midday and morning we drink it at night
we drink and we drink
we shovel a grave in the air there you won’t lie too cramped
A man lives in the house he plays with his vipers he writes
he writes when it grows dark to Deutschland your golden hair Marguerite
he writes it and steps out of doors and the stars are all sparkling
he whistles his hounds to come close
he whistles his Jews into rows has them shovel a grave in the ground
he orders us strike up and play for the dance

Black milk of daybreak we drink you at night
we drink you at morning and midday we drink you at evening
we drink and we drink
A man lives in the house he plays with his vipers he writes
he writes when it grows dark to Deutschland your golden hair Margeurite
your ashen hair Shulamith we shovel a grave in the air there you won’t lie too cramped
He shouts jab this earth deeper you lot there you others sing up and play
he grabs for the rod in his belt he swings it his eyes are blue
jab your spades deeper you lot there you others play on for the dancing

Black milk of daybreak we drink you at night
we drink you at midday and morning we drink you at evening
we drink and we drink
a man lives in the house your goldenes Haar Margeurite
your aschenes Haar Shulamith he plays with his vipers
He shouts play death more sweetly Death is a master from Deutschland
he shouts scrape your strings darker you’ll rise then in smoke to the sky
you’ll have a grave then in the clouds there you won’t lie too cramped

Black milk of daybreak we drink you at night
we drink you at midday Death is a master aus Deutschland
we drink you at evening and morning we drink and we drink
this Death is ein Meister aus Deutschland his eye it is blue
he shoots you with shot made of lead shoots you level and true
a man lives in the house your goldenes Haar Margarete
he looses his hounds on us grants us a grave in the air
he plays with his vipers and daydreams
der Tod is ein Meister aus Deutschland
dein goldenes Haar Margarete
dein aschenes Haar Shulamith

(Translated by John Felstiner)

钱春绮将“你金发的马格丽特”翻译成“你的金色头发玛格丽特”，一来是他的汉语语感不好，二来估计还是有五四风格在影响。五四以后书面语的确很不成熟。

　　 你的金色头发玛格丽特
　　 你的灰色头发苏拉米斯—钱春绮
大家就随便朗诵一下都感觉得到那一个版本更好。北岛的版本如果配上全文的朗诵将有一种紧凑的厚重感，但是钱春绮的版本有一点把节奏给破坏了的感觉（冒犯地说：有点从一开始就破坏了诗歌题目：“赋格”的感觉）。

好多翻译诗的人自己不写诗，所以不重要简练和音乐性。

And later his paper about 3d gravity is also beautiful. For math part he used Hitchin’s result about the so-called Hitchin moduli space to quantize the 3d CSs under different gauge groups. For physics part he created a new direction or view about the 3d quantum gravity.

哈哈，刚才和一帮天文界的朋友在酒吧混来着。

一直想思考同学寄给我一条几何题，我还要再找几条。

一直想思考：

没有啊，我刚才还试了一下。

李老师：又找到2条，但是发你邮箱一直失败…我明天中午再发吧，或许，您邮箱满了？

我只是借题发挥一些曾有的想法。

感觉第一首诗有梦幻的色彩。第二首和第三首语言很简单但能动人心。能不能提前预告一下平面几何题的类型？也好引大家入胜:P
对了，李老师，有没有打算去衡山路找一家酒吧或者咖啡店熬熬夜？万人迷同学的咖啡看来……呵呵。

我同意一直想思考，做平面几何只是为了训练自己的反应能力，同时消磨时间。

天才的直觉先猜想到目的地，再有逻辑布局、逻辑细节给出通向目的地的线路图。说得好！

反之，没有直觉的逻辑，就容易像无头的苍蝇。所以好的逻辑其实是建立在好的直觉基础上，虽然很多时候逻辑背后的直觉容易被定义和推理的细节所掩盖。念书要念到理解逻辑背后的直觉，才算是真正念懂了。

Witten的Chern-Simons拓扑量子场论的原始文章，是个现成的例子。最近重读感到他真正厉害之处是在直觉，对量子场论的深刻理解激发出拓扑的直觉。在逻辑上该文确有瑕疵，有若干只给了arguments但没有严格证明（然而是正确）的论断。数学界当年有许多不理解，不是没有道理的。可是Atiyah力推Witten得菲尔兹大奖，是更有道理的。温故而知新，良有以也。

1、梯形是2个同高不同底的三角形（连接梯形的对角线即可）； —这样只要知道三角形面积公式就OK；

2、三角形是半个平行四边形（连接对角线）；—这样只要知道平行四边形的面积就OK；

3、相同垂直高度、相同底边的平行四边形， 无论如何倾斜，都可以剪贴为相同垂直高度、相同底边矩形（倾斜的平行四边形一边多出个三角形另一边减少一个三角形正好抵消），

这样，只要知道矩形面积即可，其他面积公式老师最好不要要求死背。

没有和他一起试过，估计还是我厉害些。

风往何处寻：

正在收集，下次更新时贴出来。

就象好的数学导师， 给出好的逻辑方案， 然后把逻辑细节的证明分配给各学生完成。

大型电脑软件的设计也是如此。老板凭直觉给出好的“目的地”； 老总给出好的工作分布总体方案； 再分配给多个工程师、设计师去完成各细节。

万人迷好久不见。

推理和下棋一样， 一般应先定好逻辑布局，再考虑逻辑细节；布局往往比细节还重要。

《原本》第一卷的逻辑布局，显示了其脉络主要是为走向这样一个目的地：证明勾股定理。这个目的地，是第一卷的终点站和高潮。

我再读狄拉克的《广义相对论》时，就可类似地，通过其章节题目安排，得知其逻辑布局， 猜测他这样布局的目的， 并评判布局的合理程度。

逻辑目的<–>逻辑布局<–>逻辑细节<–逻辑起点站， 是环环相扣=占占相连的。

往往逻辑目的是要证明或得出一个命题，而这个命题是天才的直觉，或经验得到的。 比如勾股定理。

所以往往是先有逻辑目的地，再有逻辑布局、逻辑细节。而逻辑目的地，往往是天才的直觉先猜想到了的。

所以，有人云： “天才靠直觉，有才能的人靠逻辑推理”。（《见〈创造的秘密〉一书）

例如有很多勾股定理的证明，严格说来是有问题的：它们用代数计算公式，用长度去算面积，然后用代数公式得出勾股定理。 这里的问题是：距离概念， 面积概念， 都不是欧氏几何体系的概念。勾股定理在解析几何体系中已不用证明， 那可以是基本的度量定义。 距离只有这样度量才是欧氏空间， 否则就不是欧氏空间。

但在欧氏公理体系， 勾股定理是以下命题形式出现，而需要证明： 直角三角形， 斜边上的正方形， 与两个直角边上的两个正方形，可以贴补合同。原本中这个命题的证明没有用代数公式，完全是用某些图形分割、贴补后“全等”的方法证明的。《原本》里根据公理体系而进行的逐步证明逻辑上才是更完善的。

欧氏几何里， 除了避免长度概念， 也避免使用和定义”面积”的概念. 这时论证两图形”相等”, 就是论证两图形可通过各自的剪贴拼补移动后而重合(全等).

再如：“对顶角相等”的证明，在欧氏体系，不能用180度这样的角度度量概念去证明，《原本》里没有这样的角度度量定义。也没有“平角”的定义，“平角”就叫“两直角”。

1）原本里先定义直角：一直线与另一直线相交，如果在其中任一直线同一侧形成的两个角全等，那么这个角叫直角。

（关于“在直线的一侧”也需要定义或公理，可惜希尔伯特公理中也没有，诸如“平面上的一直线有两侧”，这也许是希尔伯特公理体系的一个遗漏。逻辑要严格程序化，任何相关推论都要能输入计算机机械在不画图的情况下而得到文字机械程序推演输出–证明，每一个未经文字符号定义的概念，都会使逻辑机械不认、死机， 操作系统的原始概念应减少到最低程度，用操作系统的原始概念来定义其他概念）

2）然后证明任意相交的两直线，在其中任一直线同一侧形成的两个角之和，等于两直角。

3)定义：相交的两直线，形成的其中两个角，若对其中任一直线，都不在同侧，则这两个角称为对顶角。 （这是我的补充，《原本》里没有定义是逻辑缺陷）

3）根据上面的定义和命题，加上“等量加（减）等量，和（差）相等”的公理，可证“对顶角相等”。

好的，我查查看。

呵呵：

谢谢链接。

以前由于繁星客栈听说要关（由于人气很低），我也无聊发贴，发了这题目，不过大家都很忙，估计不会花精力做一下子看不出来的题目（这从我个人角度，现在上网，如果5分钟之间不能给出完美的回答（可能看不懂对方题目也可能自己不会做），就不需要解答了）。

真的，明年就是20年了。

中国文化界和文学界就比指望了，民间会有人纪念的-这是主体嘛。

呵呵：

真的？希望哪天能看到。海子自己也写过，可惜没有完成，也没有很好地修改。

走了，88。

海子的诗很好，李老师的共鸣也很好

关于中文长诗，似乎曾经在网上见过其片段，但那是禁诗——一首长篇史诗，以真实的社会历史变迁作为背景，以代表性事例作为主线脉络，既有浪漫甚至荒诞的借喻式自由想象发挥，也有直截了当的深刻反思和批判，非那种“皇恩浩荡”式的御用诗文所能比。历史上，凡是在一些非正常的环境里，不能真实，一真实了，就成“禁”了。非正常环境，不但会阻碍科学的发展，也会阻碍艺术的进步。

李老师周末快乐！