这一次，大家做做智力体操吧，两道几何题。
为了照顾不喜欢做题的同学，我翻译几则数学笑话大家看看。
数学笑话
1、问: 布尔巴基什么时候停止出书的？
答：当他们发现Serge Lang其实只是一个人。（注：Serge Lang是一位写了很多书的著名数学家，研究代数几何和代数数论。）
2、老师：2k + k等于多少?
学生： 3000！
3、问：为什么我们很少在海边的沙滩上看到数学家？
答：因为他们有了sine 和cosine 去获得 tan （正切，又是棕褐肤色的意思），所以他们不需要太阳。
4、问：为什么数学家们在中国餐馆用餐后总是将剩菜带回家？
答：因为他们懂得中国余数定理！（英文余数是remainder，也可以解释成剩菜剩饭）
5、老师：“谁能告诉我7乘6等于多少？”
学生：“42！”
老师：“很好！那么谁能告诉我6乘7等于多少？”
同一个学生：“24！”
两道几何题
第一道，一直想思考自己提出来的：
任意两个正方形，只要位置适合 连接对应的点如ABCD和EFGH，分别连接AE、BF、CG、DH，那么分别取AE、BF、CG、DH的中点为1、2、3、4，那么连接12，13，24，34 。证明1234为正方形。
下面是我画的两张图，其中ABCD和EFGH的相对位置不同。
第二道，也不是很容易。这道题也是一直想思考提供的：
证明：等积等周等一边中线的两三角形全等。
报告李老师,俺找到一本书Kaku Michio – Quantum Field Theory – A Modern Introduction (OUP 1993)肥瘦挺好,适合俺看,另外挺遗憾徐一鸿的那本,真是好书,可惜俺鸟语腿差了,很难领会精妙之处
咋就没人作点好人好事给翻译一下,谁给作了,俺代表全体民科感谢侬 
pekingli：
补充这句话，证明成立。
你的物理证明和我知道的一个数学证明几乎同样简洁。
另外，你的证明可以推广到立体几何的情形。
xexz：
Kaku的书我没有看过。
Hui：
如果这里添加上画图功能，那要是贴几何题或是解答，就会方便多了。不知道实现起来麻烦不麻烦。
到目前为止，我觉得pekingli对第一题的解答最好，干净，完整，虽然是物理的。但所谓共形变换证明不完整。
一直想思考的原始证明十分复杂，我过些时间再公布。但他能够想到这个题目本身很不容易。这说明了研究中经常出现的一个现象：原始解答往往复杂，但提出原始问题很original。
我的最简洁的数学证明（三行）如下：
只要证明两个邻边相等且正交即可。
如上图，
， 
相等且正交，用复数，则有：
因为：
故：
证毕
复数在这里起了关键作用，因为相等且正交的两个线段用复数表达最简单。
谁有相对简单的几何证明？（我怀疑没有特别简单的）
李老师;
哈哈，我发邮件不是说了吗，有复数解法的，但不能用.
一直想思考：
我只是告诉大家什么最简单。
pekingli的物理证法可用否？
共形映射不简单，我过点时间贴出。
到目前为止，按简单排序：复数证法，物理证法，共形映射。
TO: 李老师
第一题的简易几何证明法（两行）：
1）按连接线，四个梯形面按比例截取平行线，显然四边相等；
2）以大正方形为底面，任意被截取平行线与其相对应大正方形边平行，且无焦点，即被截取平行线平行于底面，可证明被截取四点到底面距离相等（共面）
结论：四点共面，四边相等，应该是正方形的定义
证毕
HLA宇宙新学
HLA宇宙新学：
看不懂你的证明，让一直想思考来看吧。如果你参加学校的考试，如此言简意赅不交代清楚，老师会扣分，有时干脆不给分。如此写论文，审稿不通过
关于第一题，Hui的想法其实和pekingli类似，都是用平移、转动和伸缩来“论证”。可惜作为证明都不完整。
一直想思考认为这种证法很好，其实是复数的一种更加复杂的用法。例如，我们看一下下图：
图中我们先做平移
，然后转动一个角
，然后伸缩一个因子 
，这样，经过变换后的任两点之差是
当然为了简单我们可以将
用一个复数取代。在这个变换之下，任意两个线段的夹角不变，长度比例也不变。
令t是0和1之间的一个数，我们可以做平移
，然后转动伸缩一个因子
，取
就是第一个题目遇到的情况。
这个证明虽然有一个好听的名字，但核心就是和那个简单的复数证明一样。
四点共面，四边相等，应该是正方形的定义
－－－－
这是菱形的定义
第二题其实用余弦定理和正弦定理更直观。先用余弦定理证明已知中线的底边相等，再用中线和底边及它们间的夹角表示面积来证明夹角相等，结论就出来了。只要把式子写出来，立刻就能看出结果。
第一题李老师给出的方法很巧妙。
小生吸取了讨论中产生的精华，给出了这两题的解答和综述，望各位前辈不吝赐教：
http://blog.163.com/gesdad_3j/blog/static/67548872008102082441729/
obtuseSword：
看了你的证明，非常好。
我对第二题的证明和你是一样的。
对了，能给我们介绍一下几何画板软件吗？很想学
呵呵，李老师说的是啊，我主要认为复数太流氓了。
正因为他太流氓，我以后还想花点时间学复几何了。
虽然专业也算数学类的，不过平时也基本不做初等几何题的（所以希望大家以后多推荐高质量的几何题，呵呵），几何画板也是今天刚接触，本来是找来方便画图的，没想到功能真的很强大，可以将各个几何点和线看作是”拓扑意义上的图“，这样就可以在点和线变化时保持相互关系，同时也能度量和计算线的长度，区域的面积，还能生成动画。 软件自带的帮助文档挺详细的，有空我要好好学学。
顺便说一下，理论物理学家周围的人果然都是高手，呵呵。
obtuseSword :
你们数学系，不学近代欧氏几何学吗？那上面才是正真有高质量的几何题啊。
一直想思考:
说来惭愧，由于年少无知，高中没好好学，上了三流学校的信息与计算科学专业，虽是数学类，学的和教的却都不知道是什么，所以我基本上都是自学。
现在大四了，翻然醒悟，自己原来是想跟数学过日子，所以准备报考南开基础数学研究生。应该说现在我连数学的门都没入。
以前我经常会有数学上的疑问产生，总觉得没处交流去，居然忽略了这里这么好的地方，呵呵。
mark sun:
因为这里不能贴图（只有李老师可以），所以无法添加画图功能。倒是有个插件可以做图，不过需要贴图的人用一种很特殊的语言来写脚本，所以基本上没什么用处。
请在其他网页/博客上贴图然后在这里给出链接即可。
关于第一题
我觉得之所以李老师没有看懂我的证明是因为这道题产生了歧义。。。可能导致我们对该题的论证方向不一致。
当我看到题中“只要位置合适”条件时，我的第一论证反映是，对任意两个正方形，只要我找到一个合适的位置，满足题中条件即可。。。
SO，本人只利用原题图一的梯形体，证明该梯形体满足题设条件，即可证明结束。
HLA宇宙新学
obtuseSword：
那看来，我实在有必要过一段时间贴一些解析几何题目上来，都是圆，椭圆，双曲线，抛物线的题目？你有兴趣吗？如果喜欢比较有趣的初等代数问题，可能也能找到一些。呵。
obtuseSword:
欢迎来到南开大学！祝你成功！
你的证明很棒，你的图像我之前也得到了，也找到代数解法，但一直没有找到恰当的纯几何证明方法。
第一题的“黑洞解法”（可视为纯粹灌水：）—–假想存在正方形视界黑洞，其附近有足够多的物质，根据黑洞热力学第二定律—-黑洞视界面积永增，正方形的面积一直增大。第一题图一可视为黑洞视界随时间变化的图示，时间轴向右。经过一定的时间黑洞视界由EFGH变为ABCD，在这段时间内，视界将遍历两者之间的一切面积的正方形，其中包括较为特殊的1234，此种情形对应的是角动量为0的黑洞。图二对应的是旋转的黑洞，视界仍从EFGH到ABCD，只不过此时的时间轴沿您的博客页面向外。
第一题：一个相对简单的几何证明
基本思想：向量公式的几何实现。用原文第二图。作AM平行且等于FE,CN平行且等于EG。则F,1,M三点共线；E,3,N三点共线。三角形ADM和三角形CAN全同。故DM垂直且等于AN。由此易见12垂直且等于13。此证明可以推广到等比例的分点：只要AM:FE=A1:1E, CN:EG=C3:3G即可。（以上线段都是有向的。）
就纯几何的证明而言，还能更简单吗？不大可能了吧。
就第一题而言, 前述老式几何的证明比代数（复数）或向量的证明复杂得多。所谓现代欧氏几何，应该就是采用这些新的数学手段去证明吧。
李老师，俺上网看到。这个题目（第一题）是个好题目。
证明并不难，暂不用解析几何法（复数实际也是解析法），我给出准欧氏证法如下（四边形按对角线划分为2个三角形常常是很有效的）：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0100b441.html
实际上，第一题可以从这里开始想：如果离足够远观察，那个小正方形缩为一个点了， 所以实际上命题对一正方形各顶点与另外的点的连线的个中点，也成立。
我发明的这个“远看法”，需要诗歌般的想象力，在观察“多边形的外角和为周角”的时候，就非常有意思：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0100b444.html
刚看了主贴第2道几何题。因为题目条件中就涉及面积，所以已不是正统欧氏几何题目，用解析几何法恐怕更好。
把三角形AOB的O点放在直角坐标系原点，设A点坐标为(x,y)，B点坐标为(z,0).
周长、面积、中线长度，都可建立独立的方程， 方程为三个。而确定三角形的的坐标的未知数也是3个。所以当三角形的周长、面积、中线长度确定时，x,y,z 有确定的解。
三角形的周长、面积、中线长度 应是x,y,z的三元二次方程。有确定的对称解。
即证明三角形全等（包括对称全等）。
我在《新语丝》刚发表了<为何会觉得任何事情都符合辩证法？>
http://www.xysforum.org/xys/ebooks/others/science/misc/bianzhengfa18.txt
此文实际是整理了在这里的一些讨论所得。
我要偷懒，一定用解析几何让计算机去证明.
大家有没想到四个中点会重合的情况？
当然，大家也可以把点作为正方形的一个特例。
平子：
对。
第一题，连接AF，取AF中点a，连接1a,2a，则三角形1a2用两边都是中位线，是固定的，只要证它们的夹角相等即可
角1a2=角1aF+角2aF=180-角aFE+角2aF=180-(角aFE-角2aF)
从F作AB平行线交AE于O,则由内错角定理，角EFO=角aFE-角2aF
而角EFO是两个正方形的相对旋角，是固定的，所以三角形1a2和在另外边上形成的三角形是全等的，即证
昨天的贴只证了四条边相等，没有证四个角相等，现补充更正如下:
参考第二张图，连接AF，取AF中点a，连接1a,2a，则1a平行于EF,2a平行于AB，且1a=EF/2，2a=AB/2，由平行线的性质， 角1a2=两个正方形的相对旋角，
连接CE，取CE中点b，连接1b,3b，则由上面的讨论，三角形1a2和三角形1b3全等，因而边12=13
再证四个角，角b1a亦是两个正方形的相对旋角，是固定的，而角b13和角a12，由全等三角形性质，亦是固定的，所以角312=角b1a-角b13-角a12，是固定的，所以四个角相等，因而是正方形
证毕
等积等周等一边中线的两三角形全等。
这是本人于年2006年下半年发现和证明的命题.
等积等周等一边中线的两三角形全等。
对于该命题,有人曾给出了非初等证明.但不正确.
http://newforum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3669022&oldpage=40&thesisid=494&flag=topic1
呵呵，大家对第二题的讨论还真不少。但没有正确解答。李淼先生对问题的理解是深刻的，问题远远没有那么简单。该命题事实上从欧式几何诞生以来就客观存在，否则就早有人提出也就解决了。若大家对两三角形全等问题感兴趣请联系我。
1034584216@qq.com
考虑两个任意关系的正方形A B，把B认为成是A生长出来的，在时空中自由的生长。只要假定4根生长纤维的生长速度在时间上是对称的，或者不需要这个假定，只要B在一生的成长中都是正方形（必然），那么，各纤维中点 就是B生命的中年。显然。
沿中线切开 扳倒 中线为底 高是H 以中线为水平线 在其上下H出作两平行线，这时，原底边被限制在过中线端点旋转扫射两平行线的直线上，任一扫射状态所对应的周长都只与关于水平线对称的那个状态所对应的周长相等（连续性）。显。
等积等周等一角平分线的两三角形全等。
这是本人于年2006年上半年猜想，2007.12.18证明的命题.可说是到目前，是我最得意的发现和证明，我觉得我自己，再也难以有超越这个命题的发现和证明。
http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardID=88&ID=34831&page=1
58.42.183.* 6楼
等面积,等周长,某一条角平分线对应相等的两个三角形全等吗?
这是一个”长使英雄泪满巾”的命题.五年了,我还没有遇到一个能征服它的人.如果你是”千里马”,就请给我证明吧!
这是《百度几何吧》中，贵州毕节的一位网友对该命题证明的感叹。他对这个命题的猜想比我要早几年。
上述命题，可能会一时会难住大家，这很正常，努力探索吧。请李先生把它发到国外几何论坛上，看看国外几何爱好者的证明。
等积等周一边上的中线对应相等的两三角形全等 ，该命题的对应相似命题近日获证（2010.05.27）。
面积之比等于周长平方之比及中线平方之比的两三角形相似。