两道几何题
这一次，大家做做智力体操吧，两道几何题。
为了照顾不喜欢做题的同学，我翻译几则数学笑话大家看看。
数学笑话
1、问: 布尔巴基什么时候停止出书的？
答：当他们发现Serge Lang其实只是一个人。（注：Serge Lang是一位写了很多书的著名数学家，研究代数几何和代数数论。）
2、老师：2k + k等于多少?
学生： 3000！
3、问：为什么我们很少在海边的沙滩上看到数学家？
答：因为他们有了sine 和cosine 去获得 tan （正切，又是棕褐肤色的意思），所以他们不需要太阳。
4、问：为什么数学家们在中国餐馆用餐后总是将剩菜带回家？
答：因为他们懂得中国余数定理！（英文余数是remainder，也可以解释成剩菜剩饭）
5、老师：“谁能告诉我7乘6等于多少？”
学生：“42！”
老师：“很好！那么谁能告诉我6乘7等于多少？”
同一个学生：“24！”
两道几何题
第一道，一直想思考自己提出来的：
任意两个正方形，只要位置适合 连接对应的点如ABCD和EFGH，分别连接AE、BF、CG、DH，那么分别取AE、BF、CG、DH的中点为1、2、3、4，那么连接12，13，24，34 。证明1234为正方形。
下面是我画的两张图，其中ABCD和EFGH的相对位置不同。
第二道，也不是很容易。这道题也是一直想思考提供的：
证明：等积等周等一边中线的两三角形全等。
2008年11月20日 23:04:12
一直想思考:
说来惭愧，由于年少无知，高中没好好学，上了三流学校的信息与计算科学专业，虽是数学类，学的和教的却都不知道是什么，所以我基本上都是自学。
现在大四了，翻然醒悟，自己原来是想跟数学过日子，所以准备报考南开基础数学研究生。应该说现在我连数学的门都没入。
以前我经常会有数学上的疑问产生，总觉得没处交流去，居然忽略了这里这么好的地方，呵呵。
2008年11月21日 3:14:47
mark sun:
因为这里不能贴图（只有李老师可以），所以无法添加画图功能。倒是有个插件可以做图，不过需要贴图的人用一种很特殊的语言来写脚本，所以基本上没什么用处。
请在其他网页/博客上贴图然后在这里给出链接即可。
2008年11月21日 9:32:25
关于第一题
我觉得之所以李老师没有看懂我的证明是因为这道题产生了歧义。。。可能导致我们对该题的论证方向不一致。
当我看到题中“只要位置合适”条件时，我的第一论证反映是，对任意两个正方形，只要我找到一个合适的位置，满足题中条件即可。。。
SO，本人只利用原题图一的梯形体，证明该梯形体满足题设条件，即可证明结束。
HLA宇宙新学
2008年11月21日 10:29:58
obtuseSword：
那看来，我实在有必要过一段时间贴一些解析几何题目上来，都是圆，椭圆，双曲线，抛物线的题目？你有兴趣吗？如果喜欢比较有趣的初等代数问题，可能也能找到一些。呵。
2008年11月21日 13:41:33
obtuseSword:
欢迎来到南开大学！祝你成功！
你的证明很棒，你的图像我之前也得到了，也找到代数解法，但一直没有找到恰当的纯几何证明方法。
2008年11月21日 13:49:44
第一题的“黑洞解法”（可视为纯粹灌水：）—–假想存在正方形视界黑洞，其附近有足够多的物质，根据黑洞热力学第二定律—-黑洞视界面积永增，正方形的面积一直增大。第一题图一可视为黑洞视界随时间变化的图示，时间轴向右。经过一定的时间黑洞视界由EFGH变为ABCD，在这段时间内，视界将遍历两者之间的一切面积的正方形，其中包括较为特殊的1234，此种情形对应的是角动量为0的黑洞。图二对应的是旋转的黑洞，视界仍从EFGH到ABCD，只不过此时的时间轴沿您的博客页面向外。
2008年11月22日 8:40:28
第一题：一个相对简单的几何证明
基本思想：向量公式的几何实现。用原文第二图。作AM平行且等于FE,CN平行且等于EG。则F,1,M三点共线；E,3,N三点共线。三角形ADM和三角形CAN全同。故DM垂直且等于AN。由此易见12垂直且等于13。此证明可以推广到等比例的分点：只要AM:FE=A1:1E, CN:EG=C3:3G即可。（以上线段都是有向的。）
就纯几何的证明而言，还能更简单吗？不大可能了吧。
2008年11月22日 8:55:59
就第一题而言, 前述老式几何的证明比代数（复数）或向量的证明复杂得多。所谓现代欧氏几何，应该就是采用这些新的数学手段去证明吧。
2008年11月23日 20:38:45
李老师，俺上网看到。这个题目（第一题）是个好题目。
证明并不难，暂不用解析几何法（复数实际也是解析法），我给出准欧氏证法如下（四边形按对角线划分为2个三角形常常是很有效的）：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0100b441.html
实际上，第一题可以从这里开始想：如果离足够远观察，那个小正方形缩为一个点了， 所以实际上命题对一正方形各顶点与另外的点的连线的个中点，也成立。
我发明的这个“远看法”，需要诗歌般的想象力，在观察“多边形的外角和为周角”的时候，就非常有意思：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0100b444.html
2008年11月23日 21:18:57
刚看了主贴第2道几何题。因为题目条件中就涉及面积，所以已不是正统欧氏几何题目，用解析几何法恐怕更好。
把三角形AOB的O点放在直角坐标系原点，设A点坐标为(x,y)，B点坐标为(z,0).
周长、面积、中线长度，都可建立独立的方程， 方程为三个。而确定三角形的的坐标的未知数也是3个。所以当三角形的周长、面积、中线长度确定时，x,y,z 有确定的解。
2008年11月23日 22:53:51
三角形的周长、面积、中线长度 应是x,y,z的三元二次方程。有确定的对称解。
即证明三角形全等（包括对称全等）。
2008年11月24日 18:30:46
我在《新语丝》刚发表了<为何会觉得任何事情都符合辩证法？>
http://www.xysforum.org/xys/ebooks/others/science/misc/bianzhengfa18.txt
此文实际是整理了在这里的一些讨论所得。
2008年11月25日 17:39:50
我要偷懒，一定用解析几何让计算机去证明.
2008年11月26日 11:12:07
大家有没想到四个中点会重合的情况？
当然，大家也可以把点作为正方形的一个特例。
2008年11月26日 12:38:55
平子：
对。
2008年12月6日 23:31:47
第一题，连接AF，取AF中点a，连接1a,2a，则三角形1a2用两边都是中位线，是固定的，只要证它们的夹角相等即可
角1a2=角1aF+角2aF=180-角aFE+角2aF=180-(角aFE-角2aF)
从F作AB平行线交AE于O,则由内错角定理，角EFO=角aFE-角2aF
而角EFO是两个正方形的相对旋角，是固定的，所以三角形1a2和在另外边上形成的三角形是全等的，即证
2008年12月7日 11:47:11
昨天的贴只证了四条边相等，没有证四个角相等，现补充更正如下:
参考第二张图，连接AF，取AF中点a，连接1a,2a，则1a平行于EF,2a平行于AB，且1a=EF/2，2a=AB/2，由平行线的性质， 角1a2=两个正方形的相对旋角，
连接CE，取CE中点b，连接1b,3b，则由上面的讨论，三角形1a2和三角形1b3全等，因而边12=13
再证四个角，角b1a亦是两个正方形的相对旋角，是固定的，而角b13和角a12，由全等三角形性质，亦是固定的，所以角312=角b1a-角b13-角a12，是固定的，所以四个角相等，因而是正方形
证毕
2009年5月17日 15:59:12
等积等周等一边中线的两三角形全等。
这是本人于年2006年下半年发现和证明的命题.
2009年5月17日 16:21:11
等积等周等一边中线的两三角形全等。
对于该命题,有人曾给出了非初等证明.但不正确.
http://newforum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3669022&oldpage=40&thesisid=494&flag=topic1
2009年5月18日 9:50:55
呵呵，大家对第二题的讨论还真不少。但没有正确解答。李淼先生对问题的理解是深刻的，问题远远没有那么简单。该命题事实上从欧式几何诞生以来就客观存在，否则就早有人提出也就解决了。若大家对两三角形全等问题感兴趣请联系我。
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