主观概率

（《新发现》专栏，勿转）

我们知道，一个科学理论从来不能完全被证明，但却可以被证伪。这是基于这个事实，即一个理论的预言可以有无限多，我们不可能一一去证实，但一个理论的预言可能被某个实验否定从而被证伪。例如，太阳明天照常升起，谁都不会怀疑，这就是基于以往我们的经验，或者基于牛顿力学的正确性。但是，我们却永远不能证明太阳明天照常升起，原因是我们不能逻辑地排除经验和理论中出现的偶然漏洞。

近年来，贝叶斯统计在宇宙学中甚至在理论物理中的应用越来越多，就是和上面的那个事实有关。人们常说，贝叶斯统计是一个主观概率理论，用以区别我们在大学学习的学术上称之为或然概率理论。在通常或然概率论中，一个事件发生的概率的含义是，假如你重复做无数次实验，那么该事件发生的次数与实验次数之比就是这个概率。而贝叶斯理论中的概率不是这样的，在贝叶斯理论中，一个事件发生的概率是我们的主观期待这个事件发生的可能性。比如，明天太阳照常升起的贝叶斯概率应该为1。主观上，我们说明天太阳照常升起是基于我们过去的经验，尽管这些经验是有限的。从这个例子我们知道，如果经验发生变化，那么贝叶斯概率也将发生变化，换言之，贝叶斯概率是基于有限的数据得出的数字，这个数字随着数据的增多会不断改善。

虽然我们不能证明一个理论，我们对一个理论的信心会随证据的增加变得越来越强。在我研究的领域，我们经常看到试图用增加理论复杂的办法来修改一个简单的理论，虽然没有任何证据说明那个简单的理论有任何问题。例如，总有人不断地发明新理论来代替爱因斯坦弯曲时空的引力理论，这些新理论越来越复杂，却在实验中找不到一点证据。提出这些新理论并非真的是怀疑爱因斯坦的理论，在我看来，基于贝叶斯推理，其实是证明爱因斯坦理论正确性的贝叶斯概率越来越大。

在传统概率论中，一个理论正确的几率只能取两个值，0或者1，要么完全是错误的，要么是正确的。但在贝叶斯理论中，一个理论的正确概率可以是0到1之间的任何一个数。我们人类能够做的实验和收集到的实验数据总是有限的，所以，就有了在有了一定数据的前提下，某个理论的正确的概率。更加具体地，令数据集合为D，理论为T，我们要做出在D的前提下T多大可能是正确的判断，这个概率记为。这是一个普通的条件概率，但计算起来并不容易。

当数据积累得越来越多后，我们可以利用贝叶斯定理来重新计算新的概率，这个概率会越来越大，如果数据倾向于支持理论。贝叶斯对所谓的贝叶斯统计的主要贡献是贝叶斯定理。在介绍贝叶斯定理之前，我们说一下最近为什么贝叶斯统计在宇宙学中变得重要。

在现代物理学中，决定论一直占上风，也就是说，一旦我们知道一个系统（例如整个宇宙）在某一个时刻的状态，我们就可以预言它在今后任何一个时刻的状态，反过来也可以倒推过去任何一个时刻的状态。宇宙学遇到最大的问题之一，很类似牛顿当年遇到的第一推动问题，就是，在宇宙大爆炸的最初一瞬，宇宙的状态到底是什么？这就是所谓初始条件问题。现代理论宇宙学的一些重要进展几乎都和这个第一推动问题相关。例如，为了解释宇宙的均匀性，Guth发明了暴涨宇宙论。另一个与初始条件相关的问题是，宇宙中这么多的丰富内容是怎么来的？也就是说，为什么宇宙在最初的时刻比现在要简单得多？

有一种可能，是宇宙的初始条件并不是唯一的，而是任何可能性都出现过，这就是多元宇宙论。与多元宇宙相关的是，弦理论中允许不同种类的宇宙出现，其中物理定律可以不同。这样，我们就有了如何判断我们看到的这个宇宙的概率问题，以及，弦理论中不同规律（或理论）成立的概率问题。如前，令D代表我们收集到的宇宙学观测数据，T代表弦理论中的某个理论（或规律）或多元宇宙中的某个宇宙，我们需要计算在数据D前提下T成立的概率。

在贝叶斯推理中，我们将D和T都看成是“事件”，那么是在事件D发生的前提下，事件T发生的概率。现在，贝叶斯定理就派上用场了。令和分别是D和T发生的概率，是T已经发生的前提下D发生的概率，贝叶斯定理是

证明这个定理很简单，因为它等价于，这个新方程两边都等于D和T同时发生的概率。 这个定理看似简单，却有很多用处，例如可以用来推出一个迭代关系，当数据增加时，这个迭代关系可以用来计算在增加数据以后T成立的概率。我们不在这里认真地将贝叶斯定理用在宇宙学上，但举一个日常的例子说明贝叶斯定理的用处。这个例子最近出现在同人于郊的博客里。

假定路人甲去医院体检，查出艾滋呈阳性，那么，他真正感染上艾滋的概率是多大？现在，令D是艾滋阳性事件，真正得艾滋的事件为T，我们想知道概率。贝叶斯定理告诉我们，所以我们需要知道另外三个数字，是一个感染艾滋的病人被查出的概率，是任何一个人感染艾滋的概率，而是任何一个人被查出艾滋阳性的概率。我们知道的数据是，一万个人中有一个感染艾滋，所以，一个感染艾滋的人被查出的概率高达99.9%，所以。最后，我们需要知道，即任何一个人查出艾滋阳性的概率。这个人可能感染艾滋，可能没有感染，所以，其中NT是没有感染艾滋，如果没有感染艾滋被误诊为阳性的概率是，这个公式告诉我们。最后，用贝叶斯定理我们得到。这个结果很反直觉，可怜的路人甲只有一半机会真的感染了艾滋。

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