主观概率
（《新发现》专栏，勿转）
我们知道，一个科学理论从来不能完全被证明，但却可以被证伪。这是基于这个事实，即一个理论的预言可以有无限多，我们不可能一一去证实，但一个理论的预言可能被某个实验否定从而被证伪。例如，太阳明天照常升起，谁都不会怀疑，这就是基于以往我们的经验，或者基于牛顿力学的正确性。但是，我们却永远不能证明太阳明天照常升起，原因是我们不能逻辑地排除经验和理论中出现的偶然漏洞。
近年来，贝叶斯统计在宇宙学中甚至在理论物理中的应用越来越多，就是和上面的那个事实有关。人们常说，贝叶斯统计是一个主观概率理论，用以区别我们在大学学习的学术上称之为或然概率理论。在通常或然概率论中，一个事件发生的概率的含义是，假如你重复做无数次实验，那么该事件发生的次数与实验次数之比就是这个概率。而贝叶斯理论中的概率不是这样的，在贝叶斯理论中，一个事件发生的概率是我们的主观期待这个事件发生的可能性。比如，明天太阳照常升起的贝叶斯概率应该为1。主观上，我们说明天太阳照常升起是基于我们过去的经验，尽管这些经验是有限的。从这个例子我们知道，如果经验发生变化，那么贝叶斯概率也将发生变化，换言之，贝叶斯概率是基于有限的数据得出的数字，这个数字随着数据的增多会不断改善。
虽然我们不能证明一个理论，我们对一个理论的信心会随证据的增加变得越来越强。在我研究的领域，我们经常看到试图用增加理论复杂的办法来修改一个简单的理论，虽然没有任何证据说明那个简单的理论有任何问题。例如，总有人不断地发明新理论来代替爱因斯坦弯曲时空的引力理论，这些新理论越来越复杂，却在实验中找不到一点证据。提出这些新理论并非真的是怀疑爱因斯坦的理论，在我看来，基于贝叶斯推理，其实是证明爱因斯坦理论正确性的贝叶斯概率越来越大。
在传统概率论中，一个理论正确的几率只能取两个值，0或者1，要么完全是错误的，要么是正确的。但在贝叶斯理论中，一个理论的正确概率可以是0到1之间的任何一个数。我们人类能够做的实验和收集到的实验数据总是有限的，所以，就有了在有了一定数据的前提下，某个理论的正确的概率。更加具体地，令数据集合为D，理论为T，我们要做出在D的前提下T多大可能是正确的判断，这个概率记为。这是一个普通的条件概率，但计算起来并不容易。
当数据积累得越来越多后，我们可以利用贝叶斯定理来重新计算新的概率，这个概率会越来越大，如果数据倾向于支持理论。贝叶斯对所谓的贝叶斯统计的主要贡献是贝叶斯定理。在介绍贝叶斯定理之前，我们说一下最近为什么贝叶斯统计在宇宙学中变得重要。
在现代物理学中，决定论一直占上风，也就是说，一旦我们知道一个系统（例如整个宇宙）在某一个时刻的状态，我们就可以预言它在今后任何一个时刻的状态，反过来也可以倒推过去任何一个时刻的状态。宇宙学遇到最大的问题之一，很类似牛顿当年遇到的第一推动问题，就是，在宇宙大爆炸的最初一瞬，宇宙的状态到底是什么？这就是所谓初始条件问题。现代理论宇宙学的一些重要进展几乎都和这个第一推动问题相关。例如，为了解释宇宙的均匀性，Guth发明了暴涨宇宙论。另一个与初始条件相关的问题是，宇宙中这么多的丰富内容是怎么来的？也就是说，为什么宇宙在最初的时刻比现在要简单得多？
有一种可能，是宇宙的初始条件并不是唯一的，而是任何可能性都出现过，这就是多元宇宙论。与多元宇宙相关的是，弦理论中允许不同种类的宇宙出现，其中物理定律可以不同。这样，我们就有了如何判断我们看到的这个宇宙的概率问题，以及，弦理论中不同规律（或理论）成立的概率问题。如前，令D代表我们收集到的宇宙学观测数据，T代表弦理论中的某个理论（或规律）或多元宇宙中的某个宇宙，我们需要计算在数据D前提下T成立的概率。
在贝叶斯推理中，我们将D和T都看成是“事件”，那么是在事件D发生的前提下，事件T发生的概率。现在，贝叶斯定理就派上用场了。令
和
分别是D和T发生的概率，
是T已经发生的前提下D发生的概率，贝叶斯定理是
证明这个定理很简单，因为它等价于，这个新方程两边都等于D和T同时发生的概率。 这个定理看似简单，却有很多用处，例如可以用来推出一个迭代关系，当数据增加时，这个迭代关系可以用来计算在增加数据以后T成立的概率。我们不在这里认真地将贝叶斯定理用在宇宙学上，但举一个日常的例子说明贝叶斯定理的用处。这个例子最近出现在同人于郊的博客里。
假定路人甲去医院体检，查出艾滋呈阳性，那么，他真正感染上艾滋的概率是多大？现在，令D是艾滋阳性事件，真正得艾滋的事件为T，我们想知道概率。贝叶斯定理告诉我们
，所以我们需要知道另外三个数字，
是一个感染艾滋的病人被查出的概率，
是任何一个人感染艾滋的概率，而
是任何一个人被查出艾滋阳性的概率。我们知道的数据是，一万个人中有一个感染艾滋，所以
，一个感染艾滋的人被查出的概率高达99.9%，所以
。最后，我们需要知道
，即任何一个人查出艾滋阳性的概率。这个人可能感染艾滋，可能没有感染，所以
，其中NT是没有感染艾滋，如果没有感染艾滋被误诊为阳性的概率是
，这个公式告诉我们
。最后，用贝叶斯定理我们得到
。这个结果很反直觉，可怜的路人甲只有一半机会真的感染了艾滋。
2009年10月7日 14:41:00
补充，上文一处想通了应是这样：
本人医学结果正确率与本人的就医态度有关；
公众医学结果正确率与公众的就医态度有关。
若有合理理由就医，其合理性会增加结果的可信度（所以医生是将问诊和仪器报告综合考虑）。
文中举例情形相当于本人盲目就医，且仪器误诊率和实际得病率一样，那样才得到等于没说的
的概率。
2009年10月7日 15:00:24
谁得了诺奖，我一点也不知道，刚才还在呼呼睡大觉。
2009年10月7日 15:07:59
dirson：
你说的两个数字无关的是正确的。
2009年10月7日 15:57:34
39 歪鸟
作为这个博客的访客，炎症浸膏泥，我才是砖家。
把力作用产生变速过程说成是三维空间中存在动量–能量张量，可以在时间坐标上形成三维空间的变速产生推力，这样好解释引力透镜现象，但是你要听李博导的教导，引力对能量形式也有作用。
2009年10月7日 22:42:06
haha!我的博客样子妆扮好了，李老师有空来瞅瞅 ^__^
2009年10月8日 15:36:58
一直潜水中。。。。
见李老师举例时提到路某的名字，心窃乐之！
见李老师要把人甲我往艾滋上整，心又惧之！
二者相攻胸中而不能任，以致面有菜色。。。
詩曰:“如琢如磨。如之奈何？”
2009年10月8日 16:19:45
好，路人甲出来啦！
你去医院检查上一万次，上面那个反直觉的结果就没有啦！
1.如你确实患有该病，P(T)=1;P(D)=P(D|T);P(T|D)=1.满足贝叶斯定理。
2.如你没有患病，P(T)=0;而P(D|T)和P(T|D)无意义。把上式中T换成NT，满足贝叶斯定理。
如果按同人于郊老师的做法，P(T)是任何一个人感染艾滋的概率，而P(D)是任何一个人被查出艾滋阳性的概率。那么对于那些没有患病的统计个体P(D|T)和P(T|D)没有意义，所以不能应用贝叶斯定理。
呵呵，开个玩笑，路人甲不是特指路人甲，是有个人，而人要个名字，路人甲最简单，所以叫路人甲。
听说“孔乙己”是练字的字帖上的前三个字所以叫“孔乙己”，我看“乙己”应该是，“孔”字估计不是！
2009年10月8日 16:24:31
前6个字是“上大人孔乙己”？
也不一定
:)
2009年10月8日 16:39:13
路人甲：
:)
2009年10月8日 16:48:12
袖袖，你看对吧。。。李老师的微笑标明。。。就是举例说我啊。。。
否则他老人家怎么不举“甲乙丙”的名字呢？这个更简单啊。。。
比如说，秦国有个著名的将领就叫“白乙丙”：(
自言自语中：据说是白姓人的祖宗。其实他是名丙，字白乙。。。不知怎么就成了白姓人的祖宗了，而且到现在还搞不清他到底是蹇叔的儿子，还是百里奚的儿子。。。真是晕。。。（悄悄滴看了一下四周，还好没有白姓人，否则要挨扁）。。。
2009年10月8日 17:11:06
路人甲：
:)
2009年10月9日 18:51:35
感觉P(D/NT)假设得太大了，假定说是0.0001可能是直观上也觉得可以，但实际上是非常非常小的
2009年10月9日 19:37:03
游客：
不是假设。
2009年10月10日 8:55:19
P(D/NT)=1-P(D/T),被检测出阳性的人有两种：得艾滋的和没得艾滋的，1减掉P(D/T)就是P(D/NT)了，是这样吗？
李老师，你说P(T/D)的结果反直觉，有临床上P(T/D)的数据吗？是否支持这种反直觉？呵呵
2009年10月10日 9:40:13
晕，这样的话P(T/D)=(0.999*0.0001)/(0.999*0.0001+0.001*0.9999)约等于1/11，更反直觉。或者把P(D/T)调大一些，比如：P(D/T)=0.99999，那么P(T/D)=(0.99999*0.0001)/(0.99999*0.0001+0.00001*0.9999)约等于1/1.1，接近直觉了
我还是怀疑我说的”P(D/NT)=1-P(D/T),被检测出阳性的人有两种：得艾滋的和没得艾滋的，1减掉P(D/T)就是P(D/NT)了”是否对
汗，最后忘了回答 “10 加 1 等于几? (必须填写，为了防spam)”，提交几次说错误，还以为写了什么敏感词
2009年10月10日 13:23:22
游客：
不知道有没有临床数据。
2009年10月10日 18:11:09
李老师，我转载了这篇日志，在我空间….我知道您不会反对..
2009年10月10日 18:29:33
淡定淡定….
请加《新发现》专栏。
2009年12月9日 10:29:50
李老师，《新发现》的编辑弄错您文章里的符号了：他们把第四段、第七段和第八段的P（T|D）写成了P（P|D），还有“T已经发生的前提下D发生的概率”也写成了P（P|D），贝叶斯公式他们倒是没弄错~~~~
2009年12月9日 11:14:53
广少：
:(