Category理论和曹子建
曹植同学，才高八斗的人物。天下才有一石，他一个人占了八斗，他老爸老哥和其他建安人物占了一斗，剩下的一斗要到南朝才被谢灵运先生得到。
曹植的才华太好，而且八斗之才99％用到了文章上，没有听说他有什么政治和军事才能，老爸只好将屁股下面的位置传给老二曹丕。曹丕的文采也很好，不过写文章没有老弟那么华丽。他的务实的风格，估计是赢得老爸信任的主要原因。
昨天看天涯，某网友谈论曹植同学和诸葛亮同学评论刘邦和刘秀两位的高下（曹和诸葛的文章见附录）。这两个人都是开国的人，手下人才一大帮。刘邦手下有韩信、萧何、周勃、张良等，刘秀手下有马援、邓禹、吴汉、来歙等，都是一时人杰。刘邦的手下更有名些，所以刘邦的很多事不是自己亲自搞定，而刘秀自己的军事才能就很好，看来刘秀比刘邦要强。这也是诸葛亮和曹植的结论。
两个人得出结论的方式却不一样。那篇网文说：“曹植洋洋洒洒骈体赋述，先说一堆刘邦开国经历，再提一堆刘秀创业过程，然后很简单结论得出刘秀优于刘邦，似乎有种「西家钱很多，东家钱也多，所以东家比西家较有钱。」而欲比刘邦与刘秀之前，却先拿两家手下先比……”，这是曹八斗的论证方式。诸葛亮的论证方式是这样的，“孔明对曹植的异议很简短，首先就质疑手下的比较太笼统，一对一的捉对相比都未必准确，更何况是大规模全面性的比较？既然刘邦及刘秀两家手下的忠贞智勇难分上下，所以更导不出刘邦与刘秀的高低之分。事实上能识「曲突徙薪」为先知先觉，「焦头烂额」也是后知后觉付出辛劳，因此刘秀知人而「有杜渐曲突之明」，刘邦因材适位，使陈平、张良为谋，以韩信、周勃为将，实「有焦烂之功耳。」”。
曹八斗同学文风华丽，而逻辑混乱，孔明同学文风洗练，但论证直奔死穴。自然孔明同学才未必有八斗，文章却是写得好的，见《出师表》。
孔明的政治见识比曹植高了何止几倍。曹植说刘秀的手下不如刘邦的手下，见识和民间只会听说书的差不多。孔明同学说，不是刘秀的手下比刘邦的手下差，而是刘秀本人太强，就显不出来了。如果刘秀也像刘邦那样放手让手下去干，那么马援这些人不比韩信这些人差。曹子建的政治见识如此，曹操同学不让他继承自己，不亦宜乎。
我由此想起弦论这行当，有些人特别喜欢用华丽的数学，如category theory。难怪Polchinski说这些人说的话他听不懂了。孔明对曹八斗要客气一点，没有直接说你华丽的废话一箩筐，我看不懂。Polchinski当真看不懂category theory吗？当然不是，他的听不懂，指的是听不懂这和D-brane的重要物理有什么关系；同样，孔明也看得懂曹植的文章，只是看不懂他的忽悠和刘邦刘秀的高下有什么关系。
我经常听到一些同学说，我要将数学中的某某理论用到物理中来（我担心他们未必知道物理中的重要问题是什么）。我建议这些同学看看曹子建和孔明的这两篇文章。或者看一看Feynman和Landau的故事－这两个人有一个共同的特点，用比别人朴实得多的方法得到更重要的结果。
附录：
《汉二祖优劣论》．曹植
有客问予曰：「夫汉二帝，高祖、光武，俱为受命拨乱之君，比时事之难易，论其人之优劣，孰者为先?」
予应之曰：「昔汉之初兴，高祖因暴秦而起，官由亭长，身自亡徒，招集英雄，遂诛强楚，光有天下。功齐汤武，业流后嗣，诚帝王之元勋，人君之盛事也！然而名不继德，行不纯道，直寡善人之美称，鲜君子之风采，惑秦宫而不出，窘项坐而不起，计失乎郦生，忿过乎韩信，太公是谙，于孝违矣!败古今之大教，伤王道之实义。身没之后，崩亡之际，果令凶妇肆钨酷之心，嬖妾被人豕之刑，亡赵幽囚，祸殃骨肉，诸吕专权，社程几移。凡此诸事，岂非高祖寡计浅虑以致祸！然彼之雄材大略，似傥之节，信当世至豪健壮杰士也。又其条将画臣，皆古今之鲜有，历世之希睹。彼能任其才而用之，听其言而察之，故兼天下而有帝位，流巨功而遗元勋也。不然，斯不免于间阎之人，当世之匹夫也。
世祖体干灵之休德，票贞和之纯精，通黄中之妙理，韬亚圣之懿才。其为德也，通达而多识，仁智而明恕，重慎而周密，乐施而爱人。值阳九无妄之世，遭炎光厄会之运，殷尔雷发，赫然神举。用武略以攘暴，兴义兵以扫残。神光前驱，威风先逝。军未出于南京，莽已毙于西都。破二公于昆阳，斩阜、赐于汉津。当此时也，九州岛鼎沸，四海渊涌，言帝者二三，称王者四五；咸鸥视狼顾，虎跃龙骧。光武秉朱光之臣诚，震赫斯之隆怒。夫其荡涤凶秽，剿除丑类，若顺迅风而纵烈火，晒白日而扫朝云也。若克东齐难胜之寇，降赤眉不计之虏；彭宠以望异内陨，庞萌以叛主取诛，隗戎以背信躯毙，公孙以离心授首。尔乃庙胜而后动众，计定而后行师，故攻无不陷之垒，战无奔北之卒。是以群下欣欣，归心圣德。宣仁以和众，迈德以来远。于是战克之将，筹划之臣，承诏奉令者获宠，违命犯旨者颠危。故曰：建武之行师也，计出于主心，胜决于庙堂。故窦融闻声而影附，马援一见而叹息。股肱有济济之美，元首有穆穆之容。敦睦九族，有唐虞之称；高尚纯朴，有羲皇之素；谦虚纳下，有吐握之劳；留心庶事，有日昃之勤。乃规弘迹而造皇极，创帝道而立德基。是以计功则业殊，比隆则事异，旌德则靡短，言行则无秽，量力则势微，论辅则力劣。卒能握乾坤之休征，应五百之显期，立不刊之退迹，建不朽之元功。金石播其休烈，诗书载其勋部。故曰：光武其近优也。
汉之二祖，俱起布衣，高祖阀于微细，光武知于礼法。高祖又鲜君子之风，溺儒冠不可言敬，辟阳淫僻，与众共之。诗书礼乐，帝尧之所以为治也，而高祖轻之。济济多士，文王之所以获宁也，高帝蔑之不用。听戚姬之邪媚，致吕氏之暴皮。将则难比于韩、周，谋臣则不敌于良、平。
《论光武》．孔明
曹子建论光武：将则难比于韩、周，谋臣则不敌良、平。时人谈者，亦以为然。吾以此言诚欲美大光武之德，而有诬一代之俊异。何哉？追观光武二十八将，下及马援之徒，忠贞智勇，无所不有，笃而论之，非减曩时。所以张、陈特显于前者，乃自高帝动多疏阔，故良、平得广于忠信，彭、勃得横行于外。语有「曲突徙薪为彼人，焦头烂额为上客」，此言虽小，有似二祖之时也。光武神略计较，生于天心，故帷幄无他所思，六奇无他所出，于是以谋合议同，共成王业而已。光武称邓禹曰：「孔子有回，而门人益亲。」叹吴汉曰：「将军差强吾意，其武力可及，而忠不可及。」与诸臣计事，常令马援后言，以为援策每与谐合。此皆明君知臣之审也。光武上将非减于韩、周，谋臣非劣于良、平，原其光武策虑深远，有杜渐曲突之明；高帝能疏，故陈、张、韩、周有焦烂之功耳。
2006年9月24日 14:46:36
en, in cases like what Herman Verlinde studied recently, those singularities where he put the fractional branes on are not ‘toric’, the usual methods don’t work. one need to use derived categories which essentially describes the fractional branes on such spaces.
in fact, this method is complimentary with the BCFT.
2006年9月24日 14:49:24
i made a mistake in the sense that at a generic point of the moduli space, the singularities studied by Herman were essentially some non-abelian orbifold.
but to get to really important physics, like subspaces of the moduli space where the vector-like matters show up, one has to use these more fancy machineries.
2007年4月6日 1:49:57
有这样一种说法，语言决定世界观。某种意义上，category的语言的确能隐含给出某些物理性质吧。
2007年6月9日 0:04:39
“黑洞的纠缠熵可以这么定义。但是，我有疑问，我不知道能否将一个量子态分解成黑洞外的态和黑洞内的态的直积之和。”
我觉得很可能是不行的。因为纠缠的本质就是关联，这个关联是双向的。在黑洞的情况下，只允许单向的关联——我们可以认为对外界子系统的测量必然会改变黑洞内子系统的状态，因为看不出这样为啥不可以，但是黑洞内子系统的测量（我想是可以有定义的，至少在刚越过视界的时候），是不可能影响到外界子系统的。
与传统的纠缠态熵的概念相比，这是一个很重要的区别，即令它不会破坏纠缠本身的概念（即仍然可以认为关联存在），也会破坏纠缠熵的定义，因为纠缠态的纠缠熵的计算对于每一个子系统是对称的（任何一个约化子系统的冯·诺伊曼熵）。而当这两个子系统不再对称的时候，有理由怀疑能否把熵仍然定义成约化子系统的冯·诺伊曼熵。
2007年6月9日 0:18:49
这里牵涉到另一个问题：假如一个EPR对的一个粒子落入黑洞，那么它必然会遇到奇点而消灭掉，当它消失掉以后，与它纠缠的另一个粒子的状态究竟该如何描述呢？
有师兄说，按照外界粒子的参照系来看，坠入黑洞的粒子遇到奇点的时间是无限长的，因此它永远不会消灭，所以外界粒子的状态也不会改变。
请教李老师，不知道这样的说法有道理吗？
2007年6月9日 1:09:19
lixkyx：
同意你师兄的看法。
2007年6月9日 20:19:51
这里牵涉到另一个问题：假如一个EPR对的一个粒子落入黑洞，那么它必然会遇到奇点而消灭掉，当它消失掉以后，与它纠缠的另一个粒子的状态究竟该如何描述呢？
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湮灭可以看作一次测量，外面的粒子的态就是黑洞内部的信息。这是所谓的量子信息解释黑洞信息丢失问题的观点
2007年6月9日 23:34:27
to postech :
“湮灭可以看作一次测量，外面的粒子的态就是黑洞内部的信息。这是所谓的量子信息解释黑洞信息丢失问题的观点”
能解释得清楚一些吗？比如说|0>|1>+|1>|0>的纠缠态，当第二个粒子消灭之后，第一个粒子的状态变成了什么？
2007年6月10日 0:28:30
lixkyx：
所谓第一个粒子消灭“之后”的之后，在第二个粒子，那个在黑洞之外的粒子看来，根本没有意义，因为他们的时间不可比，进入视界的粒子永远不能给视界之外的粒子以任何信息。
所以要有黑洞互补原理，即黑洞之外的观测本身就是完备的，第一个粒子在第二个粒子看来永远在视界之上悬着。
“湮灭可以看作一次测量，外面的粒子的态就是黑洞内部的信息。这是所谓的量子信息解释黑洞信息丢失问题的观点”
说以上那句话的量子信息研究者要学习相对论的因果性。
2007年6月10日 14:44:17
嗯，我明白您的意思。在外界粒子看起来，落入黑洞的第一个粒子实际上是被冻结在黑洞视界上了，它的状态永远也不会发生改变，自然也就谈不上对外界粒子的状态的影响。这个结果应当是比较合理的。
2007年6月11日 19:26:04
所谓第一个粒子消灭“之后”的之后，在第二个粒子，那个在黑洞之外的粒子看来，根本没有意义，因为他们的时间不可比，进入视界的粒子永远不能给视界之外的粒子以任何信息
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这是个nonlocal的过程，所以不违反因果律。Horowitz和Maldacena最初在2003年试图用量子信息的理论解释黑洞信息丢失问题。当然他们的理论还是有点玄乎。他们的文章在JHEP上有，后面还有很多跟进的文章。这是一个有争议的话题:)
2007年6月11日 19:42:00
postech：
Nonlocal的过程也要遵从因果率。我们举平坦时空的例子：两个处于纠缠态的粒子被送到两个间隔很远的地方，然后一个人做实验测量其中的一个粒子的自旋，假如是向上，那么他肯定另一个一定是向下了，他发信息给远方的和第二个粒子在一起的观测者，他会说，在某时某分某秒之后，你如果测量第二个粒子，那么它的自旋是向上。 这个某时某分某秒就是第一个观测者测量第一个粒子的时刻。并且，他假定他们的时钟已经校准了。第一个观测者不能对第二个观测者说，不论你什么时候测量第二个粒子，它的自旋一定向下，比如说，假如第二个观测者在第一个做观测的一周之前就做观测，结果可能向下也可能向上。如果你不同意这个，我们就无法争论了。
现在，如果两个粒子被视界分开，根本没有校准时钟的可能，你说一个粒子被奇点毁灭后会影响另一个粒子，请问从什么时刻开始影响？
即使我们允许黑洞蒸发，蒸发前被视界隔开的事件不能用通常平坦时空的直观来研究。
Horowitz和Maldacena的文章不会犯这个错误。我不排除黑洞在蒸发的最后一刻影响外部的观测。
2007年6月11日 20:05:01
李老师真是快，呵呵。黑洞的内部的态是一个known state，一个所谓的最大纠缠态，所以无须告诉外面的观测者黑洞内部的测量的结果。其实，Horowitz和Maldacena的文章用所谓的black hole final state来说明这个问题，避开了对准时钟的问题。他们的文章用到quantum teleportation，而且是没有经典信道的quantum teleportation，没有经典信道的这样一个过程当然违反因果律。但是问题是，他们的假设已经在量子力学以外了，所以是个猜想。我不觉得这个过程和黑洞互补原理有什么冲突。
2007年6月11日 20:11:59
我本人不是特别赞成H－M conjecture，但不妨碍趁着问题不清楚的时候浑水摸鱼一把：）
2007年6月11日 20:19:59
postech：
谢谢。
看来我得仔细去研究他们的文章了。
2007年6月12日 10:06:39
without a classical channal, even two observers with time-like separation can’t tell difference between cause and effect. if there is a pair of entangled partiles, and each of them is kept by a observer. and if one observer measures state of his copy, say spin up or down, he don’t know this results from his own measurement or another observer’s operation on another copy at an earlier time.
but one thing for sure, if he measure his copy and get spin up, he immedietely knows the other guy’s copy must be in spin down state. he just can’t tell the chronic order of two measurement.
in inflation cosmology, when wavelength of a quantum flutuation exceeds event horizon and thus classical causality fails, cosmologists believe this is some sort of decoherence, thus the classical structure forms.
in blackhole case, it is very subtle. the picture of hawking radiation is pair creation near horizon due to gravitational field. for an observer at infinity, he won’t see the particle falls into blackhole, due to redshift, but he will see a greybody radiation, this is from hawking’s semi-classical calculation, the QFT in curved spacetime, but here gravitational field is still classical.
lots of quantum teleportation were carried out with entangled photon pairs, a pair creation process. in flat space-time, the photon pair is entangled, but we aren’t sure there is quantum entanglement between the pair of photons near horizon.
but if there is a observer fallls together with another particle into horizon(as far as blackhole is large enough). there is no classical channel between two observers outside and inside the horizon, thus if they measure state of their copy of particle, and if the pair is entangled, the similar argument should hold here, but we don’t know if horizon not only wipe out classical causal connection, but also quantum entanglement. if semiclassical calculation fails here and the radiaiton is not blackbody-like, then no blackhole information lost paradox, coz the quantum state falls in and radiated out are correlated. hawking use another semiclassical calculation to solve the information lost paradox, the path integral in euclidean space. two semi-classical approximation= a quantum calculation? miracle? I guess semi-classical calculation is very useful and has been correct for many problems, but they all have to be justified with experiment, you can’t prove the validity of the method like a theorem. you can say BH entropy formula was verifiedl by string theory, but string theoy is also a speculative theory itself, and can’t solve the information lost paradox either. this is like a bootstrap.
2007年8月22日 8:10:48
午睡乍醒 发罢白日梦 尔济既湑 再续黑夜缘
2007年9月17日 11:51:55
关于这个问题， 我觉得首先要厘清几个问题才能明白：
1） 量子态是epistemic 的，还是physical 的？
2） 湮灭是个什么样的过程？是不是 Unitary？
2008年3月16日 7:44:56
Landau’s worst blunder, is of course he deemed Lagrangian QFT inconsistent or unphysical in general, based on the ‘Landau pole’ conjecture.
Even the biggest genius can be misled and misleading. Category theory is at least not even wrong.
2008年3月20日 10:59:27
西西，我的直觉是我泡在李老师的博客里，就能看到新发现，至于我吗，不用作研究也不用学公式，就看着爱因斯坦在工作都很享受了，想象着他那乱蓬蓬的头发被抓得更丰富……据说爱因斯坦也养猫，不过没见到过照片，我觉得一定有个纯黑绿眼的短毛猫。
猫是思考者的伴侣，狗是行动者的伴侣。据说猫狗的语言是相反的，猫的YES是狗理解的NO。