关于熵（2）
宇宙起源于一个极低熵态的难以理解可以用下面的例子来解释。
给你一个盒子，给你一个气体，大约由个分子组成（例如
克氢气）。现在，你的任务是将这个气体放进盒子里，不仅如此，你还必须将整个气体局限于盒子的一半，盒子并没有用一个隔板分成两半。
毫无疑问，从统计的角度来说，这是一件不可能完成的任务。你并不能单个操纵分子，所以每个分子只有的机会处于盒子的一半。这样，如果你放入气体的办法是随机的，那么你成功的几率是
不用说，这是一个小得可怕的数。
Maxwell曾经想象一个和分子一般大小的小妖，将盒子用隔板分成两半，隔板开一个很小的窗口，这样分子可以穿过窗口。每当一个或几个分子从右边移到左边时，小妖将窗口封闭，这样，分子就渐渐地被关到盒子的左边去。当然，考虑到有这么多的分子，小妖需要化很长的时间才能完成任务。如果我们假定他每秒钟移一百万个分子，那么他要花和现在宇宙年龄一样长的时间才能完成这个任务。
所以，上帝创世时要选择一个低熵的态的难度大得不可思议。这个难度到底有多大？我们保守地估计，现在可以观测到的宇宙的熵至少是
即一个googol这么大。如果宇宙起源于暴涨，我们知道，暴涨期宇宙的熵大约是，所以，宇宙起源于暴涨的几率是
这么看来，上帝比Maxwell小妖要能干多了。
自然，在浪漫的传说中Maxwell小妖的确是存在的。不知道可爱的读者有没有看过吴君如等人主演的电影《花田喜事》，一个高中进士的家伙回来让吴君如洗脚，然后将吴君如的一盆墨汁似的洗脚水踢翻，让吴君如将覆水收回来。吴君如同学和她的朋友居然做到了。
我在前面谈到，人类存在的前提是热力学第二定律严格成立，也就是说宇宙过去的熵严格小于现在的熵，这个要求对上帝来说的确不是一个简单的要求。
很多人会问，既然物理定律是时间反演不变的，那么为什么我们看不到熵减少的情况发生？例如，一个箱子里的气体，如果开始的时候气体局限在一个比较小的区域，随着时间增长，气体会逐渐占满整个箱子。拍一个电影回放，我们就会看到占据整个箱子的气体逐渐向一个角落里汇聚，这个不可能看到的过程。为什么这种物理定律允许的过程在自然界没有发生？答案是，要这种过程发生，我们要微调占据整个箱子的每一个分子。也就是说，如果只有几个分子没有微调到位，熵减少的情况就不会发生。换言之，一个从低熵演化出来的态虽然宏观熵大，但其微观态在所有相同的宏观态中非常特殊。
是不是熵减少的过程绝对不会发生呢？答案是否定的。Poincare在1890年发表了一个令人吃惊的定理。考虑一个占据有限体积，能量有限的系统，Poincare recurrence（循环）定理说，无论你的初始态如何，只要你等足够长的时间，系统会回到任意靠近这个初始态的一个态。
Poincare循环定理虽然令人吃惊，证明却很简单，见
proof of Poincaré recurrence theorem 1
到底需要多长时间这样的“覆水能收”的情况会发生？统计可以给一个简单的估计（但不是严格确定的答案）。假如你的初始态的熵是，而系统最大可能的熵是
，那么，系统要回答初始态需要的时间是
我们用量子力学容易理解这个结果。如果系统的最大熵是，说明系统可能的态的数目是
，而初始态的可能数目是
，假如系统在某个时间单位里访问一个态，那么访问到初始态的时间就是上面给出的时间。
我们没有给出时间单位，因为时间单位在这里并不重要。具体的时间单位和系统的性质有关，可能是能级之间间距的倒数，也可能是这个倒数的一个修正，但不会影响上面的结果。
现在，让我们估计一个从一个平衡态系统突然通过Poincare循环机制涨落出一个人脑的可能性有多大。假定人脑的重量大约是10公斤，含有个质子和中子。为了简单起见，假定我们的平衡态系统含有同样多的质子和中子，这样最大的熵大约是这个数字乘以单个粒子相空间的对数，我们忽略后面这个因子。假定人脑的状态非常特殊，它的熵远远小于最大熵，这样，从平衡态涨落出人脑所需的时间大约是
无论用什么单位，这是一个不可思议的时间，宇宙的年龄，以秒为单位，大约是。
从平衡态涨落出来的人脑叫做Boltzmann大脑，是最近一些文章的主题。
为什么Boltzmann大脑突然得到这么多的关注？我们现在就可以解释了，前面提到，上帝创造宇宙的概率是
而从宇宙中涨落出一个Boltzmann的大脑的概率是
虽然也很小，但远远大于宇宙创生的概率。假如我们的宇宙是一个满足Poincare循环条件的系统，也就是说，是一个有限的系统（可能就是这样，后面再解释），那么上帝从这个系统中创造出低熵宇宙的可能远远小于创造出一个Boltzmann大脑的可能。假如宇宙在不断地做Poincare循环，那么我们得出结论，我们的存在是多么地幸运，因为宇宙的历史包含人类的发展史相比于Boltzmann大脑来说，是多么的罕见。
可是，一个Boltzmann大脑可能是白痴的大脑，也可能是爱因斯坦的大脑。既然是随机涨落出来的，是白痴的大脑的可能性更大，因为我相信一个没有记忆，没有知识的大脑的熵要远远大于爱因斯坦的大脑。那么，我们的宇宙为什么没有充斥着白痴？（自然，在有些人看来，情况恰恰相反，例如三表哥以为中国的绝大多数网友特别是新浪的网友是白痴）。
最近的一些文章，特别是从Page的一篇文章启发出来的一些文章，认为白痴大脑问题是landscape理论遇到的最大问题。
我现在坐在Susskind在KIAS的巨大的办公室里写这篇博文。其实，所有这些无聊或者深刻的问题起源于Susskind及其学生在02年写的一篇文章：
Disturbing Implications of a Cosmological Constant
我下面会批判这些人的观点，据说Susskind本人最近也在思考白痴大脑的问题，我坐在他的办公室嘲笑他有点不地道。
先说明一下，所有研究Boltzmann大脑的人没有象我这样将这样的大脑称为白痴大脑，因为他们相信人择原理。如果人择原理是正确的，我们也许不应该问上帝为何选择了低熵的大爆炸，因为只有这样人类才能够演化出来。可是，如果有Boltzmann大脑存在，只要不是白痴的大脑，人择原理预言我们都是Boltzmann大脑，显然这不符合观察事实。
Susskind等人不是唯一试图说明宇宙起源于Poincare循环的，其实，我们的一位韩国朋友Dongsu Bak几乎同时做了同样的建议：
我们的加拿大朋友Don Page指出（他也曾不远万里来到中国，前年夏天到北京，后来在landscape工作），在一个固定的共动体积（随着宇宙膨胀而膨胀）里，Boltzmann大脑出现的几率无限大于我们观测到的宇宙演化史几率，如果所谓eternal 暴涨是正确的话，因为eternal暴涨使得一个固定的共动体积不断地产生更多的宇宙。所以他建议，我们的宇宙是不稳定的，大约在未来的200亿年内就会衰变，下面是他的文章的链接：
Is Our Universe Likely to Decay within 20 Billion Years?
Bousso同学稍后指出，如果将局限在因果钻石(causal diamond)内的系统看成是自给自足的系统，那么Page的问题不存在，因为我们不需要考虑eternal暴涨带来的无限多的宇宙。我很同情宇宙是一个自给自足的有限系统，因为暗能量的存在，这个系统有未来视界，就是说因果钻石是有限的。系统之外的宇宙我们永远观测不到，所以和我们的关系可以完全忽略，这样我们得到一个可以应用Poincare循环定理的系统。但我前面已经指出，在一个平衡态中产生白痴大脑的几率还是远远大于宇宙来源于大爆炸的几率。
Linde同学也写了一篇很长的文章讨论Boltzmann大脑问题：
Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem
自然，还有我们在前一个博文中提到的Banks的文章。据说Lee Smolin也来凑热闹了。
我觉得，不论这些人的解决方法如何，我们大可以怀疑这个问题到底存在不存在。
我们真的能肯定我们的宇宙是一个自给自足的系统吗？如果不是，那么宇宙起源于大爆炸就很容易理解：宇宙在大爆炸的那一刻只是过去一个更大的宇宙的一个极小部分，这个极小部分的熵很小就是很自然的了。由于引力可以通过暴涨帮助我们无中生有，那么后来的自由度和熵可以解释成是引力释放出来的。
即使我们可以认为宇宙是一个有限的、自给自足的系统，我们也许没有必要为白痴大脑或者上帝创生宇宙伤脑筋。因为我的一个看法是，已经发生的事情已经发生的概率严格等于1，既然发生了，我们就没有必要担心它的几率是如此之小。当然，人择原理在这个“李氏事后诸葛亮定律”下完全失去了意义。
我的这个“李氏事后诸葛亮定律”其实是一个很深刻的定律，似乎爱因斯坦过去也提起过，他说你恰好出生在这个时代而不是新石器时代或者古罗马时代的概率不需要去关心，因为你已经出生了。过去有一些老小资写了一本书，好像是最希望生活在宋代。谁不想生活中遇到李清照，甚或是潘金莲。可惜，已经发生的事已经发生了。
所以，既然大爆炸已经发生，无论发生的几率多么小，而在茫茫宇宙间涨落出白痴大脑的几率也许更大，但既然已经发生了大爆炸，我们就坦然接受这个事实。这种观点完全违背人择原理。
那么，是不是关于宇宙起源的问题就无需再问了？我觉得不然。我们可以问，我们观测到的宇宙来源于暴涨宇宙的几率大些，还是其它什么开端大些？真的存在多宇宙吗？我们的宇宙真的是如全息原理暗示的那样是一个自给自足的封闭系统吗？等等。
老实说我不知道什么样的问题是无聊的问题，什么样的问题是深刻的问题。不过我还是觉得Boltzmann大脑问题是个无聊问题。也许在许多Poincare循环中，真的就出现过这样那样的Boltzmann大脑。有一点必须承认并且无限地为之感恩，一个孤立在茫茫宇宙中的白痴大脑也许没有什么感情，一个孤立在茫茫宇宙中的比爱因斯坦还聪明的大脑意识到他自己是多么的孤独无援，那将是怎样悲哀的事？我们的宇宙是最幸福的宇宙。阿门。
最后，我觉得我们还是谨遵Feynman或者David Mermin的指示：
Shut up and calculate。
2008年11月19日 10:07:53
TO: hhj 回154楼
引用：我理解中,尺度是分开有序和无序运动的最本质标志,譬如热力学第二定律中所揭示的本质是,小尺度很难高效地转换成大尺度运动.
上述这段话，仅从你的例子看，你的感觉是对的！打个比方，它就好象气体和固体在地球上的运动规律不可能相同一样。
至于如何看待尺度，我个人认为，尺度暂时还是个比较模糊的人为定义，这个定义宏观方向是对的，但是并不明确，复杂且难以理解，不推荐深入研究，了解个大概足矣。
HLA宇宙新学
2008年11月20日 10:48:24
回HLA宇宙新学:
气体和固体的体系的边界还容易界定.如果绝热的话,那么老死不相往来(指物质+能量交换).
这个混合体系(气体+固体)的总熵,没法定义,定义了也没有意义.
宇宙是个混合体,熵的定义,其可能性和热力学第二定律的意义(气体和固体根本不发生关系)何在?
而相近关联的体系,如流体+热运动,体系的边界又难界定,因此熵到底如何定义,其意义的质疑永远是存在的.
熵是个花哨的形式概念吗?
2008年11月20日 11:34:34
TO：HHJ回57
明确回答：熵的概念是有意义的，它的来历我个人感觉，是用一个非常简单的单词来代表一个现象过程的描述，或叫这个现象的简称，方便大家使用。
但是，熵的使用意义是有限的，就好象你说的“这个混合体系(气体+固体)的总熵,没法定义,定义了也没有意义（应该说没有太多的实际意义）.”
概念的创造者的感觉是对的，但没有实际的理论体系平台供这个概念发挥，这如同广相的方程式一样。
HLA宇宙新学
2008年11月22日 16:57:22
熵热力学的严格意义上的定义只局限于孤立体系的平衡态.也就是一个孤立体系达平衡态时的状态表征的量.这个状态似乎用介质体的均质+等方(各向同性)来体现的.人类对均质+各向同性因为简单，容易用统计的方式来表征,这是平衡态统计力学可以解决的道理.
不同体系之间譬如气体和液体即使发生关联(如蒸发凝固)往往由于作用界面的各向不同性无法分析其太多不同的小概率事件的统计结果,熵也就无法定义.熵也实质只能是当界面之间交换体均质以及作用体的等方的条件下,才能描述.也就是熵在各种不同尺度运动(作用)同时存在的情况下无法有效.
把非平衡态的体系比成一个生命体，熵是生命体死寂时的表征量.只要有一点非平衡,熵的定义就不严格成立.好比判断一个活着的生命体.人类无法确定这个生命体有几成是死的.
对一个复杂体系的运动,重要的是研究其各种尺度之间的细微的物理规律来理解,熵此时无法代替.而复杂体系处于非平衡态时,要界定此复杂体的生死成分,重要的还是依据各物理规律得到的有效能量的转换率(而不是局域熵的整体积分)来解释热力学第二定律中走向平衡态.
这是我对非平衡态力学熵的一个思考.
2008年11月28日 15:30:02
to: hhj
1、关于局域熵问题。
如果宏观熵不能表达为微观熵（平均值）的和，局域尺度只能具体问题具体分析。彭加勒曾考虑过微观熵的方案，但没有结果，因为微观熵的含义是个问题。没有微观熵概念时，宏观熵概念的有效范围是不清楚的。局域平衡假设有点绥靖哲学，没人知道这个局域最小是多大。
2、大气海洋的熵流的和应该是负的，+水汽循环和其他。推动系统远离平衡态的熵流可正可负，想想改变热平衡的途径就不难理解，如果要维持远离平衡态而不使状态发生太大的变化，通常熵流都是负的。
3、“高频是高熵,低频是低熵。”？
4、混合体系(气体+固体是简单二元系)的总熵是有定义的，这是指热力学熵，统计方案存则在局限性，我很奇怪的是绝大多数物理学者对统计方案的局限性似乎是视而不见，这个世界存在的条件是微观等概率的吗？显然不是。
熵其实是物理学中最绕人的概念，熵的热力学严格意义上的定义显然不仅限于孤立体系的平衡态，而是有很多问题还没有说清楚，理论现状离“一且都已照亮”还差的很远。
2008年11月28日 19:34:25
suye:
很喜欢你的最后一段。
不过所有问题都说清楚以后——就是不存在近似假设——熵增也是必然的
2008年12月2日 2:48:09
回suye:
1、很想知道彭加勒为什么没有结果的原因。
2、如果有相变那么更复杂了。不妨考虑大气，外层大气没有相变。
3、前面已有解释，高频的尺度小，看成高熵（第二定律另一个湍流解释就是尺度从大好散到小）。
当然，2、3，在认定昂萨克的局域熵可以推广到流体的话，一切都圆满。但是，似乎有最近的很多实验迹象表明这种很粗燥的推广，并非和实验一致。譬如根据熵流公式，那么实际测出熵流反推算出10^8巨大局域温度。
4、两相混合体系的总熵计算不说能不能，就是能也是不容易的。一个问题是液体的熵和固体熵分别算出后，也存在能不能，怎样相加的问题。由于液体和气体的规律不同，你需要通过实验去测定类似波尔茨曼之类的常数。
回平子：当熵的意义对非平衡态不确定时，熵增也就失去了意义。我担心的是或许我们这样定义的熵，只是说明了覆水难收这种其实也只是时间特性的时间不可逆性而已，而更重要的大尺度向小尺度的能量有效转换率，我们无法从熵中知道。
2008年12月6日 11:43:45
To hhj
1、微观熵的意义需要与动力学相洽（否则有效范围还是不清楚），但动力学理论中没有发现单调变化的态函数。
2、平衡辐射热力学和统计物理学的结果与“高频高熵…”的观点相反。
3、熵的意义中似有“尺度”的含义，但“尺度”不具有普遍意义，如热力学中的“自由能”就与尺度无关，关键要看“强度量”能否直接迭加或合成（两个低温加不出高温），但力学量可以（如矢量合成）。
2008年12月7日 1:40:46
1、“动力学理论中没有发现单调变化的态函数”，此话非常好。但孤立体系，在从非平衡态过渡到平衡态时，也是一个动力过程，如何有熵增这种单调变化的态函数。这是庞加莱早就考虑到了的？果真如此，民科宣传的熵看不得，会无视很多。
2、因此，在质疑平衡辐射热力学和统计物理学的两者结合的结论。前贴（153楼的4）也提到在证明中，对非平衡态整体熵增，有循环论证之疑。
3、热力学的熵，指的是布朗运动。我感觉应该是有确定的概念的。
尺度界定的困难也是系统界定的困难。只有孤立体系才可以严格定义体系。而非平衡态，由于内部尺度不可界定，其实内部是不可再确切分出子体系，如此，局域平衡中的局域，这种属于子体系的概念是不确定的。
态量不能叠加，矢量能叠加。很有意思；揭示了万物之间的关系是靠矢量来建立的。而态量只能用于封闭的系统，而且还只能在平衡态时才能准确。
因为有这种物理性质的存在，这是否可以成一种数学的定义？
很高兴你的参与讨论，似乎你理解得很深。
2008年12月7日 11:27:41
1、“动力学理论中没有发现单调变化的态函数”，此话非常好。但孤立体系，在从非平衡态过渡到平衡态时，也是一个动力过程，如何有熵增这种单调变化的态函数。
－－－－－－－－－－－－－
普利高津曾经将熵增视为动力学理论的互补，二者综合起来阐述这个世界，因此熵增与动力学理论不是矛盾体。
2008年12月8日 13:03:23
回到62楼hurry的疑问,我也同样困惑过.
这是概率的本身局限.概率关心的是结果态,而从不关心时间(如赌场中,人关心的是一次赌的输赢的可能性/赌注.但人从不关心一次赌的所花的时间).因此，无视时间的概率不能用来解释动态体系.建立于概率基础上的统计物理学,也存在不能根本上解释动态体系的局限.
熵是有其本身的局限的.suye后面的一些补充感觉是必要的.可惜我不了解相变的细节,插不进去.
2008年12月29日 17:35:05
熵：在《博弈圣经》中是生物亲序，是行为携灵现象
时间和空间唯独不同的是，它总是向一个方向流动，从过去流向未来，这种不可逆的次序的边界上，时间的弹性软体里包裹着神秘的因果律。科学家已经发明了测量无序的量，它称作熵，熵也是混沌度，是内部无序结构的总量，可以理解成国○19。未知的信息越多，熵越大，也就是国○19越大。
出自《博弈圣经》
2009年5月5日 15:49:09
测量无序的量，它称作熵
熵也就是混沌
2009年5月5日 17:31:49
hhj,
您的问题:
“1)非平衡态的熵,基于局域平衡的假定.局域范围内,称之为准平衡态.这里,一个深刻的问题是,如何界定这个局域的范围?这个界定有什么非平衡态统计物理的根据吗?”
貌似俺老师教过.统计物理教本里有的.
2009年5月23日 23:36:54
认真研究了一下，不过我是看社会哲学的时候晃过来的。
大概是以下这么一段话引起的：
而另一方面，权威的本质（它的目标被减缩成通过强迫性的强加和无休止赞同的整齐划一来保护自己的永久性）主要表现为对所有多样化、独特性和超越的不信任；存在于一种对所有未知的、摸不着的和通常是含糊的事物的厌恶(“本源”追求的变种)；存在于对千人一面、一致性和惰性的癖好；存在于对现状深深的眷恋，在其中，呆板的精神胜过生命。它所力求的秩序不是真诚地追求社会自我组织的最高形式，以及与发展中的复杂结构相适应，而是与其相反，是一种朝向代表熵的顶峰的“最大可能性状态”的衰退。追随熵的方向，它走向反对生活的方向。
（作者 哈维尔）
关于人的起源问题，不过这个问题的讨论中，你有个逻辑误区，其实人是在生物产生后的一种抵抗回归混乱的进化中产生的，所以严格来说，从0熵到无机世界再到“有机”世界的问题才是本质问题。
那么，通过关于熵的讨论，大概可以这么解释，也就是说，生物是一种熵在pioncare循环中熵在某一特定状态中的固定。也就是能量的一种物质形式。
不过，依然似乎无法解决一个问题。在此，其实我倒对宇宙的产生兴趣不大，不过对生物这一个具有极其特殊的“自我保存”能力的物质存在兴趣更大。
我想还是无法解决的问题是：为什么，熵可以形成一种无机物质态并被固定，更奇妙的是，又能形成一种有机物质态，不仅被固定，甚至可以自身进化。当然这种进化是在不影响“熵增”的情况下存在的。不觉得这很奇妙吗？
如有讨论兴趣，可发邮件至liushichen14@126.com
2009年6月24日 22:37:46
宇宙中涨落出一个Boltzmann的大脑肯定不是这么算的
应该是在宇宙涨落出来之后，再考虑这么多物质如何组合
因为涨落无法涨落出大脑
涨落反应的是单个无关原子的组合可能
大脑的神经之间不是孤立的系统
所以单纯从涨落考虑会遗漏很多
比如分子之间也有关系，但是从涨落看，可能熵一样
2009年7月5日 18:51:41
既然引力可以创造熵，那说明引力包含熵的全息化信息？
2009年7月5日 18:54:57
谁说宇宙必须从自身熵的态里诞生？，若宇宙膨胀熵更大，这个概率岂不是越来越小是变动的
那个概率没有意义吧
涨落一个大脑比一个宇宙难，说明这个估算是不合理的假设吧
2009年7月5日 19:00:21
白痴大脑里若干个比率不是白痴，应该还需要在白痴大脑里再乘以一个比率来缩小概率吧
因为编码之后的信息能储存比态可能更多的信息
所以这个概率可能远远小于直接从熵这个层面来考虑
2010年2月23日 1:02:14
再來插花一下. 我曾與我的研究所同學合作, 寫過兩篇關於 Poincare cycle 與 entropy 增加過程的文章.
1. Poincare cycle of a multibox Ehrenfest urn model with directed transport, PHYSICAL REVIEW E 67, 031101 (2003)
2. Drifting diffusion on a circle as continuous limit of a multiurn Ehrenfest model, PHYSICAL REVIEW E 69, 022102 (2004)
在第一篇文章中, 我們推廣了 Ehrenfest 的 urn model, 並計算出 M-urn model 的 Poincare cycle. 在第二篇文章中, 我將得到的 “平均值演化方程” (master equation) 取連續極限, 得到了有 drift velocity 的擴散方程. 論文中有一部份的思想是跟愛因斯坦的 Brownian motion 論文借來的, 但我們談的是在圓圈上的擴散. 我還在最後討論了那個擴散方程跟 “具 AB 效應的薛丁格方程” 的關係. 我後來發表的兩篇量子力學論文其實都是奠基於這篇論文的結果.
由於這兩篇論文的模型很簡單, 數學也都很基本, 只用到了線性代數, 微分方程, 以及生成函數 (generating function) 的概念, 所以應該很容易看懂.
我提供這兩篇文章在 PRE 與 Arxiv 的網址如下:
第一篇:
http://pre.aps.org/abstract/PRE/v67/i3/e031101
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0210338
第二篇:
http://pre.aps.org/abstract/PRE/v69/i2/e022102
http://arxiv.org/abs/physics/0308023
不好意思. 又佔用李老師的版面了. 希望對有興趣的網民有點兒幫助.