狮子的爪子

发表于 2007年6月28日由李淼

老实说，我好久没有看Witten的文章了，前两天他的新文章出来了，这两天我断断续续地看，终于大概看完了，觉得这篇文章很不错，他在这篇文章中似乎回到了他的最佳状态，文章中明显地留下狮子的爪痕。

Witten的文章见

这篇文章重新讨论了三维纯引力。Witten在88年就研究过三维纯引力，那时他指出，2＋1维引力可以写成规范理论形式，作用量是一定规范群的Chern-Simons形式。如果宇宙学常数是负的，那么规范群就是 $SO(2,2)$ ，其中子群 $S(2,1)$ 是2+1维中的Lorentz群。当2＋1度规不简并时（如度规完全为零），Chern-Simons作用量完全等价于Einstein-Hilbert作用量。这个理论的真空解是anti-de Sitter空间，如果anti-de Sitter的半径是 $l$ ，那么该理论就有一个无量纲常数 $l/G$ ， $G$ 是3维引力常数，在自然单位制下就是Planck长度。

在Chern-Simons理论中，也有一个无量纲常数，就是所谓的level number $k$ ，两个理论通过

$k={l\over 16G}$

联系起来。通过一些过去的工作我们知道，如果纯anti-de Sitter空间的引力对偶于一个1＋1维共形场论，这个场论的中心荷就是 $c=3l/(2G)$ ，或者

$c=24k$

如果2+1维的纯引力理论真的等价于Chern-Simons理论，那么 $k$ 必须是一个正整数，当 $k=1$ 时，的确存在一个所谓的因子化共形场论（因子化的意思是，1＋1维场论的左手部分和右手部分分别是一个独立的场论，这个条件要求中心荷是24的整数倍），Witten猜测， $k=1$ 时，anti-de Sitter空间上的纯量子引力等价于这个唯一的 $c=24$ 的因子化共形场论，并且，他将这个猜测推广到其他 $k$ 。

最有意思的是Witten关于黑洞的猜测。在谈这个猜测之前，我们谈一下2+1维中其他纯引力理论。

当宇宙学常数等于0时，真空解就是平坦的Minkowski时空，此时，由于2+1维引力没有局域自由度，从而Hilbert space是空的，这个理论似乎没有意义。如果将纯引力与其他物质场耦合，由于其他的有质量的局域激发使得时空的渐进几何完全改变（还是平的，但有deficit角），这个时候似乎也不容易定义散射态。

当宇宙学常数是正的时，我们不知道如何定义可观测量，也许这个理论存在，也许不存在。如果要这个理论有意义，我们需要将它嵌入一个更大的理论中去。

好了，我们似乎只能研究宇宙学常数为负的情况了。这个时候，anti-de Sitter时空有边界，是一个1＋1维的圆柱，其中圆的方向是空间，另一个方向是时间，要定义这个理论，我们就需要规定边界条件，一个边界条件对应一个态，这个态也可以看成是对偶共形场论中的态，所以，纯引力不空，也可以定义类似散射振幅的可观测量。

Anti-de Sitter时空上的态形成Virasoro代数的表示，当 $k=1$ 时，对应的态可以写成因子化的配分函数，一个因子是holomorphic的，另一个是anti-holomorphic的。真空态对应的能量是 $-2$ ，左手部分是 $-1$ ，在这个真空上用Virasoro生成元作用，得到一些其它的态，这些态的生成函数是

$Z_0(q)=\sum q^{L_0}=q^{-1}\prod_{n=2}{1\over 1-q^n}$

Witten说，这不应该是所有物理态的生成函数，原因有二。第一，作为因子化共形场论的配分函数，上面的函数不是modular invariant的。第二，2＋1引力中存在黑洞，这些黑洞就是有名的BTZ黑洞，BTZ黑洞的Bekenstein-Hawking熵是

$S=4\pi\sqrt{k}(\sqrt{L_0}+\sqrt{\tilde{L}_0})$

仅看左手部分，只有当 $L_0>0$ 时，熵才不为零，所以Witten猜测，最小的黑洞对应于 $L_0=\tilde{L}_0=1$ ，从而，完整的左手配分函数是

$Z(q)=Z_0(q)+N_1q+\dots$

其中 $N_1$ 是最小黑洞数的左手部分的贡献！

在modular form理论中，只有一个含有单极点的modular不变的函数，就是有名的 $j$ 函数，所以，

$Z(q)=J(q)=j(q)-744=q^{-1}+196884q+21493760q^2+\dots$

所以， $N_1=196884-1=196883$ ，我们去掉1是因为其中一个 $L_0=1$ 的态对应于stress tensor，其余对应于黑洞，也就是说，当 $k=1$ 时，有 $(196883)^2$ 个小黑洞。作为检验，我们有 $\ln 196883=12.19$ ，而 $S=4\pi\sqrt{1}=12.57$ ，这两个数很接近，后者是Bekenstein-Hawking熵。

Witten将这个猜测推广到其他 $k$ 以及2＋1维超引力的情形，我们就不多讨论了。

下面说说我由Witten的工作得出的一些看法。

1. 显然这是一个漂亮的工作，我们也许第一次可以仔细数黑洞的状态。黑洞的质量是量子化的，在3+1理论中，我们没有这个结论。

2. 虽然我们能数黑洞的微观态，但是是建立在对偶理论的基础上，我们对2+1维理论本身没有仔细地处理，例如，我们没有研究黑洞作为背景上的引力理论。也许只有如此，我们只能用对偶理论来研究，因为2+1维没有局域自由度。

3. Witten自己也指出，由于没有局域自由度，黑洞不能看成是物质塌缩形成的，最小的黑洞本身应该看成是基本自由度，大黑洞由很多小黑洞形成。这是很怪的一个现象，我们从纯引力出发，得到一些本身不在作用量中的基本自由度。当然，由于BTZ黑洞的整体特性，我们可以粗略地说最小的黑洞是引力场的topological soliton。

4. 我觉得最重要的是，纯粹的2+1维引力目前还不能看成是M理论中的一个特例，那么到底将来能不能将这个理论纳入M理论？如果不能，是不是意味着M理论不是唯一的量子引力理论，至少当宏观世界是3维的时候M理论不能涵盖所有的自恰的量子引力理论。

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中国科学院理论物理研究所研究员

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