博客李淼

狮子的爪子

老实说，我好久没有看Witten的文章了，前两天他的新文章出来了，这两天我断断续续地看，终于大概看完了，觉得这篇文章很不错，他在这篇文章中似乎回到了他的最佳状态，文章中明显地留下狮子的爪痕。

Witten的文章见

这篇文章重新讨论了三维纯引力。Witten在88年就研究过三维纯引力，那时他指出，2＋1维引力可以写成规范理论形式，作用量是一定规范群的Chern-Simons形式。如果宇宙学常数是负的，那么规范群就是 $SO(2,2)$ ，其中子群 $S(2,1)$ 是2+1维中的Lorentz群。当2＋1度规不简并时（如度规完全为零），Chern-Simons作用量完全等价于Einstein-Hilbert作用量。这个理论的真空解是anti-de Sitter空间，如果anti-de Sitter的半径是 $l$ ，那么该理论就有一个无量纲常数 $l/G$ ， $G$ 是3维引力常数，在自然单位制下就是Planck长度。

在Chern-Simons理论中，也有一个无量纲常数，就是所谓的level number $k$ ，两个理论通过

$k={l\over 16G}$

联系起来。通过一些过去的工作我们知道，如果纯anti-de Sitter空间的引力对偶于一个1＋1维共形场论，这个场论的中心荷就是 $c=3l/(2G)$ ，或者

$c=24k$

如果2+1维的纯引力理论真的等价于Chern-Simons理论，那么 $k$ 必须是一个正整数，当 $k=1$ 时，的确存在一个所谓的因子化共形场论（因子化的意思是，1＋1维场论的左手部分和右手部分分别是一个独立的场论，这个条件要求中心荷是24的整数倍），Witten猜测， $k=1$ 时，anti-de Sitter空间上的纯量子引力等价于这个唯一的 $c=24$ 的因子化共形场论，并且，他将这个猜测推广到其他 $k$ 。

最有意思的是Witten关于黑洞的猜测。在谈这个猜测之前，我们谈一下2+1维中其他纯引力理论。

当宇宙学常数等于0时，真空解就是平坦的Minkowski时空，此时，由于2+1维引力没有局域自由度，从而Hilbert space是空的，这个理论似乎没有意义。如果将纯引力与其他物质场耦合，由于其他的有质量的局域激发使得时空的渐进几何完全改变（还是平的，但有deficit角），这个时候似乎也不容易定义散射态。

当宇宙学常数是正的时，我们不知道如何定义可观测量，也许这个理论存在，也许不存在。如果要这个理论有意义，我们需要将它嵌入一个更大的理论中去。

好了，我们似乎只能研究宇宙学常数为负的情况了。这个时候，anti-de Sitter时空有边界，是一个1＋1维的圆柱，其中圆的方向是空间，另一个方向是时间，要定义这个理论，我们就需要规定边界条件，一个边界条件对应一个态，这个态也可以看成是对偶共形场论中的态，所以，纯引力不空，也可以定义类似散射振幅的可观测量。

Anti-de Sitter时空上的态形成Virasoro代数的表示，当 $k=1$ 时，对应的态可以写成因子化的配分函数，一个因子是holomorphic的，另一个是anti-holomorphic的。真空态对应的能量是 $-2$ ，左手部分是 $-1$ ，在这个真空上用Virasoro生成元作用，得到一些其它的态，这些态的生成函数是

$Z_0(q)=\sum q^{L_0}=q^{-1}\prod_{n=2}{1\over 1-q^n}$

Witten说，这不应该是所有物理态的生成函数，原因有二。第一，作为因子化共形场论的配分函数，上面的函数不是modular invariant的。第二，2＋1引力中存在黑洞，这些黑洞就是有名的BTZ黑洞，BTZ黑洞的Bekenstein-Hawking熵是

$S=4\pi\sqrt{k}(\sqrt{L_0}+\sqrt{\tilde{L}_0})$

仅看左手部分，只有当 $L_0>0$ 时，熵才不为零，所以Witten猜测，最小的黑洞对应于 $L_0=\tilde{L}_0=1$ ，从而，完整的左手配分函数是

$Z(q)=Z_0(q)+N_1q+\dots$

其中 $N_1$ 是最小黑洞数的左手部分的贡献！

在modular form理论中，只有一个含有单极点的modular不变的函数，就是有名的 $j$ 函数，所以，

$Z(q)=J(q)=j(q)-744=q^{-1}+196884q+21493760q^2+\dots$

所以， $N_1=196884-1=196883$ ，我们去掉1是因为其中一个 $L_0=1$ 的态对应于stress tensor，其余对应于黑洞，也就是说，当 $k=1$ 时，有 $(196883)^2$ 个小黑洞。作为检验，我们有 $\ln 196883=12.19$ ，而 $S=4\pi\sqrt{1}=12.57$ ，这两个数很接近，后者是Bekenstein-Hawking熵。

Witten将这个猜测推广到其他 $k$ 以及2＋1维超引力的情形，我们就不多讨论了。

下面说说我由Witten的工作得出的一些看法。

1. 显然这是一个漂亮的工作，我们也许第一次可以仔细数黑洞的状态。黑洞的质量是量子化的，在3+1理论中，我们没有这个结论。

2. 虽然我们能数黑洞的微观态，但是是建立在对偶理论的基础上，我们对2+1维理论本身没有仔细地处理，例如，我们没有研究黑洞作为背景上的引力理论。也许只有如此，我们只能用对偶理论来研究，因为2+1维没有局域自由度。

3. Witten自己也指出，由于没有局域自由度，黑洞不能看成是物质塌缩形成的，最小的黑洞本身应该看成是基本自由度，大黑洞由很多小黑洞形成。这是很怪的一个现象，我们从纯引力出发，得到一些本身不在作用量中的基本自由度。当然，由于BTZ黑洞的整体特性，我们可以粗略地说最小的黑洞是引力场的topological soliton。

4. 我觉得最重要的是，纯粹的2+1维引力目前还不能看成是M理论中的一个特例，那么到底将来能不能将这个理论纳入M理论？如果不能，是不是意味着M理论不是唯一的量子引力理论，至少当宏观世界是3维的时候M理论不能涵盖所有的自恰的量子引力理论。

这篇文章发表于 2007年6月28日, 星期四 22:19:31，属于分类理论物理。你可以查看 HTML打印版或通过新闻聚合(RSS) 来追踪这篇文章的最新评论。

文章《狮子的爪子》已有 100 篇评论

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81 小辉
2007年7月5日 22:14:02
李老师：
我的问题是否也等价于这样问呢：把一个带电小球静止放在桌子上，然后甲观察者坐在桌边，乙观察者匀加速离开桌子！甲当然探测不到有电磁辐射，在乙看来如果有辐射的话，那么，辐射必然对小球产生“反冲”！小球就会相对与桌子滚动！（滚到桌沿也许会掉下来呢！呵呵）难道甲乙二人能看到如此不同的现象吗？

谢谢！
82 李淼
2007年7月5日 22:36:49
小辉：

我同意你给出的那篇文章的结论，但还没有看文章的内容。
83 呵呵
2007年7月5日 22:46:15
李老师：

测量会涉及测量仪器与被观察物体之间的相互作用，相互作用可能会使虚光子变成实光子的。例如近场光学技术中，近场就是虚光子场，测量仪器（探针针尖）与虚光子之间的散射作用，使得近场转变为传播场（也即辐射场）。有人把这个过程比作：水龙头关闭之后，水不能流出来，但可能在水龙头口子附近鼓出来一个水珠（这如同不辐射的近场），但是如果你用水去碰一下那水珠，那水珠就会顺着你的手指流出来（这如同探针与近场的作用使得近场转变成传播场）。

一个观察仪器加速通过一个电子所产生静电场区域时，就可能会在“平静的湖面”上产生这种“涟漪”。
84 呵呵
2007年7月5日 22:58:07
小辉

我不具备广义相对论的专业训练背景（学的比较粗浅），那篇文章超出我的范围
85 寒星
2007年7月6日 10:59:06
李老师，你的评论文章写的很好，以后可以多写一些这样的评论文章吗，我会一直关注。
86 李淼
2007年7月6日 11:49:25
寒星：

好的。

不过，我现在看文章不多，大多数文章看一个abstract，很少像看Witten这篇这样看的。
87 小辉
2007年7月6日 16:19:12
李老师您好：
您对上面的第“81”个帖子中的“假象实验”如何看待呢？

谢谢！
88 小辉
2007年7月6日 16:20:45
纠正一个地方：应该是“假想实验”！呵呵
89 李淼
2007年7月6日 17:07:19
小辉：

你在81楼是不是假定在加速系中如果电荷辐射就会有反冲？这个我不敢肯定，因为加速系中动量不必守恒。
90 whitehead
2007年7月6日 22:14:39
小辉，你的问题能否这样考虑：假设你在原地以恒定角速度作自转运动，则在你一定距离的静止电子相对于你将作圆周运动，如果它能辐射光子，则它的能量将不断减小，因而速度也减小，又角速度只依赖于你自转的速度，也就是说角速度不变，因而只能是半径减小，也就是说当你自转了一圈又一圈了以后，电子将一点一点的移向你，嘿嘿，这无疑是荒谬的
91 whitehead
2007年7月6日 22:34:32
或许这个问题和双生子详谬一样，告诉我们加速系和惯性系是不同的，也就是说曲率不具有相对性，否则一个负曲率空间如果认为自身的曲率为0，而认为平直空间曲率为正，则它看到的平直空间将是封闭的，而这是不可能的。
我们需要的也许是弯曲空间的电磁理论，也就是引力和电磁力的统一理论。
92 semi
2007年7月7日 13:16:47
对于这个问题是否可以从力的角度去考虑，在惯性参考系G中静止的电子受到的力为0，所以不辐射光子；非惯性系F相对惯性参考系G在X方向作加速运动（等价于非惯性系F受到一个指向X方向的力），在非惯性系F下看此同一个电子，按等效原理，此时可将电子看作处于与指向负X方向引力场中，所以在非惯性系F看来，电子受到一个负X方向引力，但同时非惯性系F本身受到一个指向X方向的力，对于电子本身也受到此指向X方向的力，所以对于电子总力仍为零，所以不辐射光子。

因此我认为如果考虑到（包含非惯性系）的所有可能参考系，那么电子加速运动并不一定导致辐射光子，只有在惯性参考系小，电子加速运动就可能导致辐射光子，也不一定导致辐射光子，比如量子力学的玻尔原子模型，在定态下，电子作加速运动也不导致辐射光子。
93 Richard
2007年7月7日 18:40:48
李老师能谈谈非对易几何的要点吗,有哪些主要结论…除了矩阵理论,他还有别的实现吗….最近丘成桐主张把群表示论和数论(李群的无限维表示)用到弦论当中,您对此有什么看法?
94 李淼
2007年7月7日 19:15:02
Richard：

关于非对一几何和物理，参见我和吴咏时编的文集的前言。

没有看过丘先生的文章，不敢随便说话。
95 junbao
2007年12月5日 7:04:14
“4. 我觉得最重要的是，纯粹的2+1维引力目前还不能看成是M理论中的一个特例，那么到底将来能不能将这个理论纳入M理论？如果不能，是不是意味着M理论不是唯一的量子引力理论，至少当宏观世界是3维的时候M理论不能涵盖所有的自恰的量子引力理论。”
Witten昨天的文章和这个问题有关,不过还没有最终的结果.
我只扫了一眼摘要和简介.
96 李淼
2007年12月5日 9:46:01
junbao：

谢谢有用的信息。
97 junbao
2007年12月5日 17:40:00
To:李老师
不客气。这篇文章还是很有意思的。我就不啰嗦了。因为感兴趣的人自然回去读。

另一件事：从我这边总是连不上KITPC的主页，不知道是什么原因。夏天在佛罗伦萨参加workshop的时候倒是能连上。
98 李淼
2007年12月5日 18:08:43
junbao：

国内的很多server在国外连都很困难。
99 junbao
2007年12月5日 18:57:30
谢谢李老师。
100 hehe
2009年8月4日 14:53:27
任意给定一个李代数，它的量子包络代数都一定是存在的吗？

如果存在，它是否具有某种唯一性、泛性质呢？

有什么文献是专门讲这方面的呢？

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