博客李淼

黑暗中

暗能量继续是宇宙学上热门话题。

我的同事兼同行蔡荣根同学最近提出了一个新的暗能量模型，暗能量密度为

$\rho_q\sim M_p^2t^{-2}$

其中 $t$ 是宇宙年龄，他说这个结果来自于Karolykazy关系。关于细节，见原文

A Dark Energy Model Characterized by the Age of the Universe

老实说，这个动机还是挺诱人的，暗能量的形式很像全息暗能量。

不过，我对一些技术细节有疑问。

假定暗能量的状态方程指标是 $w$ ，那么，暗能量作为标度因子 $a$ 的函数是

$\rho_q\sim a^{-3(1+w)}$

根据蔡的公式，标度因子作为时间的函数就是

$a\sim t^{2\over 3(1+w)}$

我们看看上式的简单推论。第一，当物质为主的时候，我们知道， $a\sim t^{2/3}$ ，说明此时 $w=0$ ，暗能量的状态方程和物质一样。我们是否可以推论（不用去解蔡的方程），这个结果和用Hubble视界作为全息暗能量的红外截断的结果一样？也就是说，暗能量其实不加速宇宙膨胀。

蔡文说，当物质为主的时候，他的暗能量迅速增长。这很奇怪，因为根据基本公式，暗能量永远与宇宙年龄的平方成反比，怎么会增长呢？根据我们前面的简单推论，暗能量其实和物质的增长方式是一样的，所以相应的 $\Omega_q$ 不随时间变化。

在暗能量为主的时期，很容易解Friedmann方程，这个时候暗能量的状态方程的确取决于暗能量公式中的一个系数。

这个暗能量模型有一个有趣的行为：它的状态方程总是和主导宇宙的那个能量的状态方程一样，如果标度因子作为时间的函数是一个幂函数。这就带来一个问题，也许暗能量永远不能主导宇宙，如果一开始其它能量形式主导宇宙。

还有其它一些有趣的文章，我稍后评论。

PS：王一今天给我的一封信：

李老师，

您好，我和王焘仔细地check了蔡老师的工作，发现在宇宙中同时含有物质和ADE的情况下，尽管蔡老师的文章没有代数计算上的问题，但是和您前几天说的一样，蔡老师的解是把方程进行微分等操作时候得出的额外的解，不满足最初的方程。数学上唯一的正确解应该是

$\Omega_q = ( 3n / 2 )^2$

也就是 $\Omega_q$ 为常数的解。这正好对应于物质和ADE能量密度的比例不变，所以和物理意义是符合的。

祝好

王一

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‘t Hooft今天贴出一篇文章

The Grand View of Physics

开头向A. Salam致敬：

To obtain the Grand Picture of the physical world we inhabit, to identify the real problems and distinguish them from technical details, to spot the very hidden areas where there is room for genuine improvement and revolutionary progress, courage is required. Every now and then, one has to take a step backwards, one has to ask silly questions, one must question established wisdom, one must play with ideas like being a child. And one must not be afraid of making dumb mistakes.

然后他指出Salam获诺贝尔奖的主要原因是他的grand picture，因为他在标准模型上并不完全是正确的。之后，他将主要精力用来怀疑弦论，他认为quantum gravity在短距上是topological的，决定论的，因为弦论没有改变量子力学，所以作为某种终极理论肯定是不完备的。似乎’t Hooft回到了晚年Einstein的轨道上。

也许’t Hooft是正确的，他没有放弃理论物理学家的预言能力，他不喜欢landscape。也许他是对的，多听听有着grand picture人的意见总是好的。

这篇文章发表于 2007年7月31日, 星期二 22:48:22，属于分类宇宙学，已经被点击 18342 次。你可以下载本文的 PDF版本和LaTeX源文件，查看 HTML打印版或通过新闻聚合(RSS) 来追踪这篇文章的最新评论。

文章《黑暗中》已有 51 篇评论

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32 莲开泥水
2007年8月3日 16:27:55
谢谢老师。

的确有想考博的想法；也的确是希望了解这方面好的教材，不单应对考试。

微分几何也不了解，诚恳地请老师介绍什么方向适合学哪方面微分几何

比如弦论需要掌握哪个微分几何，并请老师推荐好的教材

比如相对论需要掌握哪个微分几何，并请老师推荐好的教材
33 李淼
2007年8月3日 17:03:26
莲开泥水：

微分几何，我觉得Eguchi等人的那篇Physics Reports的文章总是不错的，还有两位侯老师的书。
34 弦外音
2007年8月3日 22:48:00
一位学数学的同学觉得这本书很实在：
===========
物理学家的几何学（第二版）（影印版）
原书名：The Geometry of Physics: An Introduction, Second Edition 原出版社：Cambridge University Press
作者： Theodore Frankel 出版社：清华大学出版社
译者：丛书名：天元基金影印系列丛书
出版日期：2005-4-1 上架日期：2005-10-8
ISBN：7302073511 页数：版次：2-1
开本：185×230 装帧
===========
李老师大概不会去注意这种introduction。有高人推荐合适的书固然是好事，但有一本基本够水平的书，接下来就是自己努力了。李老师，你觉得呢？
35 李淼
2007年8月4日 0:05:01
弦外音：

同意。
36 postech
2007年8月4日 14:40:08
天热灌点水凉快凉快
新的文学革命即将来临，文学现在从经典文学，发展到意识流文学，现在更出现了量子文学，估计离超弦文学不远了

链接
37 李淼
2007年8月6日 2:50:30
postech：

谢谢，我在天涯也看到了，黄孝阳似乎是一个不错的作家。
38 Myth
2007年8月6日 16:19:57
刚刚注意到0707.4049出了第二版。作者把原来的暗能量模型修改为

$\rho_q={3n^2(t)M_p^2\over t^2}$ ,

这里 $n=n(t)$ 不再是常数，而是随时间演化的一个量。从物理上讲，这似乎意味着某个不确定关系随时间是演化的。

如果我们忽略这个物理上的问题，至少这个时候暗能量的状态方程将不再是

$w_q=-1+{2\over 3n}\sqrt{\Omega_q}$ ,

因为 $n(t)$ 是时间的函数。正确的结果应当是

$w_q=-1+{2\over 3n}\sqrt{\Omega_q}-{2t\dot n\over 3n^2}\sqrt{\Omega_q}$ .

作者给一个例子， $n(t)\sim t$ ,这个时候

$\rho_q\sim constant$ 。

这当然是宇宙学常数。这和我们给出的状态方程的结果一致。

但是这下，这个模型不是只有一个待定参数，而是一个待定函数了！而函数里面可以有任意多个参数。
39 李淼
2007年8月6日 16:47:36
Myth：

我还是怀疑那个微分方程的解是否一定是原来的Friedmann方程的解。王一和王焘已经检验过当n是常数时， 0707.4049给出的解不是Friedmann方程的解，这样原来的w公式也是不正确的，它的唯一正确场合（我猜测），是当没有任何其它能量形式时，也就是 $\Omega_q=1$ 时。

当n是时间函数时，只能使得解的问题更加复杂化。
40 Myth
2007年8月6日 17:21:47
关键应当是在于解微分方程的时候是否取的是物理的边界条件。w的公式来源于能量守恒，应当是对的。

正如我们前面所讨论的，在物质为主时期，“暗能量”的状态方程是w=0(exactly),因此标度因子 $a\sim t^{2/3}$ exactly。这个时候我们来看这个微分方程

$\Omega_q'={2\over n}({3n\over 2}-\sqrt{\Omega_q})(1-\Omega_q)\Omega_q$ 。

前面我们的结果是 $n^2={4\over 9}\Omega_q$ ,这时我们发现上面这个微分方程的右边第一个括号=0 exactly，即 $\Omega_q'=0$ ，或者 $\Omega_q=constant$ 。所有的讨论都是自洽的。微分方程也是对的。
41 李淼
2007年8月6日 17:29:31
Myth：

谢谢指出w的公式是正确的。
42 RG
2007年8月6日 22:46:24
thanks for all comments here, I found the solution to the puzzle. See
the revised version.
43 RG
2007年8月6日 22:49:16
By the way, I got the solution on last Saturday and this afternoon we
had a further discussion in my group meeting.
44 Myth
2007年8月7日 0:14:08
我刚看了一下第三版。在这个版本中，作者放弃n随时间变化的情况，回到n是常数的情况。

这个暗能量模型和历史有关。所以它和全息暗能量(HDE)不同。在某种程度上全息暗能量和未来视界有关，所以它的边界条件可以放在无穷远的将来，这样就给微分方程的边界条件带来了任意性，因为没有人知道无穷远将来所发生的事情。但是对这个新的暗能量模型来说，它的边界条件是由历史来决定的，所以也就失去了选择边界条件的任意性。在前面的讨论中，我们给出了它的边界条件： $n^2={4\over 9}\Omega_q$ ，并且给了一个自洽的解，即 $\Omega_q=constant$ 。

我们再来讨论一个简单的事实。我们知道大概在宇宙年龄是1万年的时候，宇宙开始进入物质为主时期。宇宙现在的年龄大约是137亿年。如果文章的结果是对的，那么在物质为主时期，新的暗能量看上去就像是一个宇宙学常数，其能量密度应当是不变的。但是我们来观察一下它的定义

$\rho_q={3n^2M_p^2\over t^2}$ 。

举一个简单的例子，当宇宙从1万年到10万年，从上面这个定义，其能量密度应当只剩下1%。这不可能是宇宙学常数。

很高兴和大家继续探讨这个模型。希望通过这样的交流让大家和我都能对这个模型有更多的了解。
45 李淼
2007年8月7日 1:23:27
RG：

You are welcome.
46 δ
2007年8月7日 13:19:23
在蔡老师v3的文章中，我还有个困惑，就是δ的自然值应该取多少。如果说δ的来源是量子引力，那么δ的自然值是Planck时间，而δ的实验值，即和现在的宇宙年龄可以比拟的大小，还是比自然值要大很多倍，这样还是一个精细调节问题。

也可以从另一个角度看这个问题，当物质为主早期，即 $T\ll\delta$ 时，ADE的密度可以做展开：
$\rho_q=3 n^2 m_p^2 (t+\delta)^{-2}\simeq 3 n^2 m_p^2 \delta^{-2}\times (1-2t/\delta+\cdots)$
从领头阶的贡献可以看到，此时常数δ的贡献和宇宙常数是一样的。是它使得ADE的能量密度相对于物质的能量密度很快增长。那么它是不是也和宇宙常数一样，存在精细调节问题呢？它的自然值是怎么决定的？使用参数δ的暗能量模型和最简单的宇宙常数模型相比，优势如何体现？

希望大家多多指教，谢谢:)
47 HW
2007年8月7日 18:42:11
谢谢各位的评论。关于这个模型的最新进展，预告：
A New Model of Agegraphic Dark Energy 贴出去了，
arXiv:0708.0884 明天应该出来，不出意外的话是 astro-ph 分类
希望能够回答了主要问题，呵呵
48 HW
2007年8月8日 10:08:57
A New Model of Agegraphic Dark Energy
arXiv:0708.0884 [astro-ph]

已经出来了
49 李淼
2007年8月8日 12:53:18
HW：

谢谢。
50 想娶奶茶
2007年8月13日 16:33:29
一个月没有地方上网，来晚了，sigh
51 华人
2007年9月30日 9:14:44
很好!可以进一步交流吗?这种交流能算发表吗?就是说知识产权有没有?谢谢

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