弦论需要什么样的新数学？

发表于 2005年12月28日由李淼

累了一天，818没有边的事，类似弦论将来需要的新数学到底是什么？

一提起这个话题，总有人想到牛顿。他老人家为了解决自己的力学问题，发明了微积分。到底为了什么力学问题？这是很难回答的问题，他创造力最旺盛的两年中也发现了万有引力，尽管很晚才公开发表。我觉得证明两个球体之间的引力反比于球心之间距离平方需要微积分，不过，他在《原理》中尽量用当时大家熟悉的“初等数学”，所以很难判断到底是什么样的物理问题激发他发明微积分。牛顿在《原理》中的精神状况，倒是和一些弦论家相反，有些弦论家，能用代数几何或者范畴论表述的问题，决不用我们能理解的“初等方法”，尽管后者可能还要简练些。

对了，我想说的是，最终成为弦论的数学基础的新数学所能解决的问题，也许用我们已经知道的方法一样能够解决，只不过，许多物理问题用新数学解决起来更方便些。

我们很难想象新数学将是什么样子，因为我们也许还不知道触发未来的某个天才发明这种新数学的物理问题是什么。我们可以试着问一些还还有解答的物理问题：

1. 黑洞的量子物理，包括黑洞熵的起源，黑洞的信息丢失问题。我觉得后者的解决不会是具体计算上的，而是某个人给出了原理，这个原理保证黑洞的信息没有丢失。而黑洞熵的问题，弦论中能够做的公认的办法是弱耦合下的数态，没有涉及到任何高等的数学。所谓loop gravity，用表示论。但是Motl说那里的方法全然不可信。毫无疑问，黑洞熵的问题之于我们，如同牛顿发现万有引力之前的引力问题之于胡克和牛顿，完全是一个谜。由于我们并不知道最终的正确的物理想法是什么，那么任何现在想象不出的数学都有可能。

2. 宇宙学常数问题。和黑洞熵问题一样，基本上没有任何线索。

3. 弦论在随着时间变化的背景下的表述。我倒觉得这里的新数学最有可能出现，因为物理上，传统的物理可观测量散射矩阵基本失效，需要发现新的可观测量。最近Giddings，Marolf和Hartle等人讨论了低能近似下引力的“赝局域”可观测量，我打算将来有时间专门在这里讨论一下那篇文章的内容。他们提出的“赝局域”量与时空上的积分有关。在非对易几何中，积分可以用求迹代替。那么，新的可观测量与非对易几何有关吗？但是非对易几何不是新数学。也许非对易几何之于新数学，如同牛顿之前的一些方法之于微积分。

4. 弦论的紧化。过去的数学足够用了，而且，我不觉得这部分物理是未来的最重要的物理，尽管现在landscape甚嚣尘上。

我们当然还能列出更多的物理问题，我不觉得那些问题是独立于以上几个关键问题之外的。

从数学的角度看，我倾向新数学可能与代数有关，群论，群论表示论，等等，这些数学可能就类似于微积分之前的那些数学，独立地用这些老方法解决任何弦论中的问题就比较费劲，新数学的发明也许使得解决一些物理问题显得很简单。为什么我倾向代数？首先，量子力学本身就可以用纯代数表述（Heisenberg的矩阵力学），弦论中的可能存在的很大的对称性，非对易几何，矩阵理论，等等。最后，很多人都相信时空即几何是一种近似。

也许，未来的弦论并不需要任何新数学。我本人不会太失望:)

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中国科学院理论物理研究所研究员

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