弦论需要什么样的新数学？
累了一天，818没有边的事，类似弦论将来需要的新数学到底是什么？
一提起这个话题，总有人想到牛顿。他老人家为了解决自己的力学问题，发明了微积分。到底为了什么力学问题？这是很难回答的问题，他创造力最旺盛的两年中也发现了万有引力，尽管很晚才公开发表。我觉得证明两个球体之间的引力反比于球心之间距离平方需要微积分，不过，他在《原理》中尽量用当时大家熟悉的“初等数学”，所以很难判断到底是什么样的物理问题激发他发明微积分。牛顿在《原理》中的精神状况，倒是和一些弦论家相反，有些弦论家，能用代数几何或者范畴论表述的问题，决不用我们能理解的“初等方法”，尽管后者可能还要简练些。
对了，我想说的是，最终成为弦论的数学基础的新数学所能解决的问题，也许用我们已经知道的方法一样能够解决，只不过，许多物理问题用新数学解决起来更方便些。
我们很难想象新数学将是什么样子，因为我们也许还不知道触发未来的某个天才发明这种新数学的物理问题是什么。我们可以试着问一些还还有解答的物理问题：
1. 黑洞的量子物理，包括黑洞熵的起源，黑洞的信息丢失问题。我觉得后者的解决不会是具体计算上的，而是某个人给出了原理，这个原理保证黑洞的信息没有丢失。而黑洞熵的问题，弦论中能够做的公认的办法是弱耦合下的数态，没有涉及到任何高等的数学。所谓loop gravity，用表示论。但是Motl说那里的方法全然不可信。毫无疑问，黑洞熵的问题之于我们，如同牛顿发现万有引力之前的引力问题之于胡克和牛顿，完全是一个谜。由于我们并不知道最终的正确的物理想法是什么，那么任何现在想象不出的数学都有可能。
2. 宇宙学常数问题。和黑洞熵问题一样，基本上没有任何线索。
3. 弦论在随着时间变化的背景下的表述。我倒觉得这里的新数学最有可能出现，因为物理上，传统的物理可观测量散射矩阵基本失效，需要发现新的可观测量。最近Giddings，Marolf和Hartle等人讨论了低能近似下引力的“赝局域”可观测量，我打算将来有时间专门在这里讨论一下那篇文章的内容。他们提出的“赝局域”量与时空上的积分有关。在非对易几何中，积分可以用求迹代替。那么，新的可观测量与非对易几何有关吗？但是非对易几何不是新数学。也许非对易几何之于新数学，如同牛顿之前的一些方法之于微积分。
4. 弦论的紧化。过去的数学足够用了，而且，我不觉得这部分物理是未来的最重要的物理，尽管现在landscape甚嚣尘上。
我们当然还能列出更多的物理问题，我不觉得那些问题是独立于以上几个关键问题之外的。
从数学的角度看，我倾向新数学可能与代数有关，群论，群论表示论，等等，这些数学可能就类似于微积分之前的那些数学，独立地用这些老方法解决任何弦论中的问题就比较费劲，新数学的发明也许使得解决一些物理问题显得很简单。为什么我倾向代数？首先，量子力学本身就可以用纯代数表述（Heisenberg的矩阵力学），弦论中的可能存在的很大的对称性，非对易几何，矩阵理论，等等。最后，很多人都相信时空即几何是一种近似。
也许，未来的弦论并不需要任何新数学。我本人不会太失望:)
2006年2月7日 15:08:20
也许，未来的弦论并不需要任何新数学。我本人不会太失望:)
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关现在这么多数学就足够让人郁闷了
2007年8月16日 0:40:25
我曾推来推去中发现我自己的微积分与现在的微积分。。。。
我也曾试图用数学理解弦论，发现了丘成桐用数学推演弦论，后来自己就想到是否是数学的重复，即数学的数学就是弦论需要的新数学呢！
哈哈。。。大家说呢！
2007年8月16日 0:53:35
我想告说你的是时空是个比较皆准的定义，但仅仅比较皆准而已，很多时候根本不用它，因此时空有些误导人类。。。哈哈ddzz@tom.com
2007年11月22日 22:04:50
呵呵，我倒是觉得，弦论现在需要的不是新数学，而是更多的和实验物理相结合。或许是一个相对比较偏激的观点，但是弦论学家在我看来是比较另类的，甚至是和普通的物理工作者有着比较大的区别。普通的理论物理工作者，搞宇宙学也好，搞高能的也好，都比较注重对实验的预言，对于一种新的理论，无论它的数学上再完美，形式上再简洁，如果无法从任何实验上观测到其和已有的理论的差别，从某个角度来说这个理论是没有太大的意义的。
呵呵，纯粹是个人观点。
2007年11月22日 22:57:33
invariant ：
支持你的观点。
2008年3月5日 20:23:51
哈，从‘淼语录’找到这篇，好文！
俺是民科，说话可以不负责任，俺就再偏激一点，再科幻一点:)
我想问问李老师，会不会和上世纪二三十年代解决所谓第三次数学危机的努力有关系，和罗素，维特根斯坦，胡塞尔，哥德尔这些人的努力有关系，数学搞个‘另类’的‘基础’会不会就能有个新发展？
2008年3月5日 20:50:45
xexz：
看到这儿来了。
我说的新数学不一定和你说的那些数理逻辑基础有关，应该和超越几何有关-我这么想。
2008年3月5日 21:27:14
我不懂，瞎说的，您别笑话:P
超越几何？那是不是得用代数工具来研究呀，反正‘形象’得给抽去了？那不就得用到‘集合论’了么？要是这个‘基础’不够强悍，这个会是‘问题’可能的原因之一吗？不过说实话，我不知道‘问题’到底是什么，就大谈‘问题’的原因是挺可笑的，哈哈:P
继续胡说，也许我们找到‘上帝的几何’–超越几何确实不会用很久的时间，这个我就比较失望一点点，不刺激，这是上帝不给俺们民科机会，为表示俺的失望情绪，俺借郭德纲说：“这上帝也太没蹓了:P”。
2008年3月5日 21:57:58
xexz：
我自己也很难想象新数学到底是什么样子，假如将来会有的话。
2008年3月6日 10:38:54
[…] 李淼老师博文《弦论需要什么样的新数学？》后的回帖，原帖在http://limiao.net/42#comment-15397 […]
2008年8月8日 11:19:04
这些东西太难了，还真是庆幸当然没有考上南大物理系。不过这个问题我也很感兴趣，数学形式将是怎样
2008年9月23日 21:38:36
[…] 别 2007-09-25 17:00:08 […]
2008年11月9日 20:15:30
插个嘴，平方反比応该是Hooke先提出，但是他只採用圓周運動(Hooke数學功力太淺)；Newton的貢献是证明Kepler laws可以由這定律导出，軌道可以是任意二次圓錐曲線。對照Principia，Newton幾乎沒有使用到calculus。
2009年4月15日 0:21:50
新物理当然得对数学有所创新。另请教李同学：电荷（注意，不是正反电子或其它带电的粒子）倒底从何而来？它比质量更基本吗？它为啥是四维标量？http://blog.163.com/hwd_hwd/
2009年4月29日 18:36:25
可以對時間積分或微分嗎
時間會澎漲或壓縮嗎
2009年10月1日 9:11:05
我能解决所有问题，关键你把点设想为三圈圆，且内环面积等于外环面积，或则看成空间圆，这个圆是一张纸条绕至少绕180后首尾对接起来的两个圆，当然还可以看成其他，我想这两种表达可能更简单点，如此，数轴上就没了奇点说法了，数轴是连续的，你可以说都是起点，也可以说都不是奇点.这样写出来宇宙方程，正的世界里如果能证明光速不变，爱因斯坦是对的，反的世界里，物质速度是无限的，不能度量，只能用正的世界度量，但她的确存在，就想黑洞，太阳你既可以看成黑洞，也可以看成太阳.穿过黑洞两个途径，正的世界速度足够快，如果光速最快就是光速，或则静止
2009年10月1日 9:18:45
所有问题根源在于数学0+0并不等于0，只有你设定为0才会等于0，可我们的宇宙就是0+0=1
2009年10月1日 9:26:20
宇宙是否轮回就看他最终形成的圈即物质也非物质.是否是能形成现在那个空间圈，理论上可以呆个几年再度重演.只要圈内有光明出来，那物质就出来了
2009年10月1日 9:30:02
因为我们定义了0也就定义了1，某种角度0就是1，充满0的球面最终看起来就是线连起来的东西，就像看抽象画一样，画中有画
2009年10月1日 9:44:57
可以参考我的三圈圆