恶搞例外群
我终于有工夫翻看了一下A. Garrett Lisi的文章：
An Exceptionally Simple Theory of Everything
我不得不说，在我的字典里，这篇文章是crackpot文章，尽管表面上看起来，文章里充满了一些关于群论的正确的知识。例如，开始时作者就指出，如果从例外群G2里挑出子群SU(3)，那么在李代数的层面上，G2李代数的其他生成元可以看作是su(3)的基本表示和反基本表示，也就是说
作者说，强相互作用可以用G2群来表示，SU(3)自然是强相互作用群，另外两组对应于夸克和反夸克。可是我们知道，胶子是玻色子，夸克和反夸克是费米子，将这两组粒子用G2群来统一起来是什么意思？何况，有不止一组夸克，不止一组反夸克，我们至少有6种夸克，这样G2群就太小了。
同理，作者用F4来刻画引力-弱相互作用，将spin connection，Higgs场和弱电规范场以及轻子放在一起。最后，因为有
E8群自然就是最大的统一群了。
如果我们一定要将玻色子和费米子放在一起，我们就得谈论超群，可是这位作者谈的是一般群，所以我就看不懂他定义的规范场的含义了，更不明白他建议的BF理论。
除了不懂他的物理内容外，他画的关于例外群的图还是蛮漂亮的。我不得不说这篇31页的文章是对例外群的认真的恶搞。
借此机会，我们谈一点例外群的知识吧，同时也恶搞一次。
例外群共有5个，它们是G2, F4, E6, E7, E8。数字是指群的秩，也就是极大对易子群(Cartan子群)的维度。例外群大约被Killing发现于1890年，后来重新被Cartan发现并研究。
每个例外群是具有同样秩的群中的最大的群，也就是说它的维度最大。例如，G2群的维度是14维，而具有同样秩的单群SU(3)是8维的，SO(5)是10维的。G2群含有SU(3)子群，作为和乐群，SU(3)对应的流形就是6维的Calabi-Yau流形。作为和乐群，G2对应的流形则是7维的，所以G2和M理论有关系，当11维的M理论紧化在G2流形上时，其余的4维时空有N=1超对称。另外，G2是八元数的自同构群。
关于G2是八元数的同构群，Baez有专门的讨论。
G2的含义有很多，例如爱尔兰军事情报局、G2播放器等等。当然，G2再有名，也没有F4有名。
F4作为例外群，有52维，其中36维来自于SO(9)子群，其余16维可以看成是SO(9)的旋量表示。F4又和魔方有关。最近最流行的魔方是：
该F4更进化成：
我并不想贴上面这张照片，但是实在找不到一张女F4不暴露的照片。
接着我们谈E6群，这个群在熟悉粒子物理的人中最出名，因为除了SU(5)，SO(10)外，E6是最小的大统一群，也可以嵌入杂化弦的E8群中，E8群的另一个子群SU(3)可以用Calabi-Yau流形来破缺。E6群有78维，基本表示是27维。
E6多面体：
E6又是Motorola手机的一款。
E7有133维，它的子群SU(8)应该最有名，因为和极大超引力有关，E7也是极大超引力的极大对成群。
E8是最大的例外群，有248维。E8最小的非平庸表示是248维的，就是自伴随表示。E8自然出现在杂化弦中，主要和E8格点有关。
最后，存在叫E7和E8的手机。
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晃晃同学给了一个链接
Surfer dude stuns physicists with theory of everything
文中介绍了Lisi其实是一个冲浪的人，看起来的确很壮：
他还是一个滑板滑雪者，Lisi同学从身体来说和女F4很般配 
2007年11月19日 11:07:57
认真的路过
2007年11月19日 14:56:06
这幅女F4的照片只是泳装而已，算不上暴露的。呵呵
2007年11月19日 15:02:31
Lisi的思路可真够疯狂的，指望通过这样的数字游戏来构建TOE，有点不象物理学家所为了，更像一些数学家的恶搞。
2007年11月19日 17:54:49
看到一个很过瘾的视频，共享一下：
2007年11月19日 18:00:06
咦，为什么使用那个贴url的格式又不好用了呢？
看到一个很过瘾的视频，共享一下
2007年11月19日 18:06:36
晃晃：
应该好用，我将你上面的改了。
2007年11月19日 19:29:38
哇，女f4都出来了，什么时候芙蓉姐姐也跳出来，整出一个“量子芙蓉姐妹双宇宙统一e88对称不例外不恶搞群理论”，物理学就圆满了。
2007年11月19日 20:26:23
转…………………………………….
发信人: NullPointer (Matrix Architect), 信区: SF
标 题: 冲浪狂人发表宇宙万有理论 zz
发信站: 水木社区 (Sat Nov 17 05:29:39 2007), 站内
冲浪狂人发表宇宙万有理论
从 Solidot 作者：matrix
这是最近几天最引人注目的科学新闻：一位冲浪滑雪狂人发表了一篇统一场理论，一
种新的解释宇宙万物的理论，或许将解开物理学中的最大难题。 Garrett Lisi，39
岁，拥有博士头衔，但不属于任何大学。多数时候，他是在夏威夷冲浪，当向导或桥
梁建筑工人，睡在帐篷里。冬天就到内华达州附近的高山上滑雪。他说，“当穷人令
人讨厌，当你要为自己和女朋友下个月到底住哪里伤神，却还想着揭开宇宙的秘密，
这确实很难。”Garrett Lisi刚刚在arxiv上递交了一篇论文，标题为《一个极其简
单的万有理论（An Exceptionally Simple Theory of Everything）》，统一了引力
标准模型，但没有用到弦论。其巧妙之处是使用前不久刚刚被数学家解密的李群E8几
何学结构。Lisi的理论预测了 20种新粒子，他希望欧洲大强子对撞机最终能验证和
发现这些粒子。Youtube上的视频解说(值得一看)。专家们既然不想鉴别那只纸老虎
，就来仔细瞧瞧这个理论是否是宇宙的可行解。
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2007年11月19日 20:33:12
I wrote a ‘joke’ in the mathematics board of some bbs and said that F4 is useless in physics. Hehe.
2007年11月19日 20:55:41
关于Cartan子群及极大对易子群：这两者通常不是相同的。准确地说，Cartan子群是由最大的由半单元构成的交换子代数生成的，而最大的交换子代数通常是幂零元生成的。比如SU(4)，其极大对易子群的李代数维数为4，而秩等于3。
2007年11月20日 11:09:47
sina 跟风很快，马上把泰晤士报的这篇文章搞过来了
中文版本：冲浪爱好者宣称破解爱因斯坦未解物理难题
http://tech.sina.com.cn/d/2007-11-20/07161861236.shtml
2007年11月20日 16:03:02
lisi到底是什么意思啊？谁来解释一下。
2007年11月20日 20:57:27
彻底不懂:(
想请教一下李老师：
这个人的意思是不是说用不同的粒子物理的实验数据可以画成不同的几个小‘表格’，把它们和在一起画就是个大‘表格’的意思？所以就TOE了？
2007年11月20日 21:53:28
xexz：
大概是这个意思。
2007年11月21日 9:17:45
Sidney Coleman去世了，呜呜
2007年11月21日 10:00:57
adam：
听说了。 Coleman是这个领域少有阐释家，智者。
据说他已经好几年不认识人了。
2007年11月24日 20:36:44
請教李老師：
例外群是確實只有5個，還是目前只找到5個？如果確實只有5個，是何人何時證明的？
什麼書上有介紹例外群的？請推薦一兩本，最好是中文，不行的話就英文。
2007年11月24日 20:41:27
其實我覺得這位Lisi跟Penrose是一路貨，完全不顧物理意義，閉門造車，拿數學往上面硬湊，頗有削足適履之韻味。
2007年11月24日 21:04:58
someone：
单李群的例外群只有五个，我文中说，是Killing先证明的。我还真不知道哪本书例外群讨论得好。
2007年11月26日 18:54:35
请问这里面是不是有群的问题？
有的话是什么群？