博客李淼

拒绝完美

在经典力学中，我们几乎看不到一个动力学系统因为某个参数在某个区域取值而变得不自洽，我知道的唯一例外是广义相对论，如果初始条件满足一定的要求，曲率奇点就会发生。所以，广义相对论是不完美的。广义相对论的不完美可能不那么严重，很多人相信宇宙监督原理，这个原理声称只要初始条件不太离谱，奇点总会被视界保护起来，也就是说作为观测者我们看不到奇点，除非我们愿意越过视界。当然，大爆炸的奇点不可避免，因为初始条件不满足我们的要求，就像如果有大塌缩一样，未来的奇点也不可避免。当然在有宇宙学常数的情况下，大塌缩不会发生。

一旦量子力学介入，情况就不同了。很早以前，我们就知道量子电动力学是不完美的，当能量达到Landau极点的时候，理论完全失效。Landau极点在50年代就被发现了，这个发现使得很多人认为量子场论不能作为粒子物理的基本理论。

但是，量子电动力学还是很好的低能有效理论，因为Landau极点的位置是

$\Lambda_{Landau}=m_ee^{3\pi^2/(2e^2)}=m_ee^{3\pi/(8\alpha)}$

我们知道精细结构常数 $\alpha$ 是一个很小的数，这样Landau极点远远大于Planck质量，在一个有效场论中，我们根本不必关心这个能标。

无论如何，我们知道，量子世界中的完美理论比起经典理论少多了，完全自洽的量子场论和经典场论相比要少多了。

如果我们将量子引力引入，就会得到更多的限制，例如所谓的弱引力猜测就是对有效场论的更强的限制，应用到量子电动力学中，我们得到的结论是，这个有效场论的最高能标是

$\Lambda=eM_p$

其中 $M_p$ 是Planck质量，由于电子电荷远小于1，这个能标小于Planck能标，更加比Landau极点要小。我过去谈过弱引力猜测：越弱越暗越美丽。

电子电荷小是一个观察事实。最近，还是那个Paul Davies，指出，利用黑洞和热力学第二定律，可以推出电子电荷不能很大，他的推导不是严格的，所以只能推出量级来，结果是

$e^2 \le 1$

他的文章见Constraints on the value of the fine structure constant from gravitational thermodynamics

推导过程非常简单，我们重复如下。考虑一个中性黑洞，质量为M，将一个起始是静止的电荷投入黑洞，得到一个带电荷的黑洞，令牛顿引力常数 $G=1$ ，得到的带电黑洞的半径为

$r=M+m+((M+m)^2-e^2)^{1/2}$

黑洞熵正比于黑洞视界面积，初始时系统的熵就是黑洞本身的熵，因为电荷的熵可以忽略。这样，吸积之前和吸积之后，系统的熵都由黑洞半径决定，热力学第二定律要求吸积之后黑洞半径不减小，而上式中如果电荷太大，黑洞半径就会减小，我们要求

$e^2 < 4Mm$

如果对于足够小的黑洞，上式不成立，那么热力学第二定律就被破坏了。我们问，最小的黑洞能有多小？显然，有两个可能的下限，其中明显的那个就是Planck质量-黑洞的质量如果小于Planck质量，黑洞是否是黑洞就值得怀疑了。另一个下限是能够吸收电荷的最小黑洞，那么这个黑洞的直径不能小于电荷的Compton波长，我们得到：

$4M > 1/m$

取最小的可能值 $4M=1/m$ 代入上面的不等式（注意这个最小的值大于Planck质量，如果电荷的质量小于Planck质量），就有 $e^2 < 1$ ，这是Davies的主要结果。

有人会问，如果我们将上面的不等式用到磁荷上，不是得出和Dirac量子化条件矛盾的结果么？因为，我们同样有 $g^2 < 1$ ，这里g是磁荷，但Dirac量子化条件是 $eg=n/2$ ，其中n是整数。对这个问题的回答是，在电动力学中，这个不等式的确告诉我们点状的磁荷不存在。在非对易规范理论中，磁荷不是点状粒子，其实，磁荷有一个场论中的大小，其半径反比于Higgs质量。我们知道，磁单极的质量正比于Higgs质量同时反比于电荷的平方 $e^2$ ，所以，如果电荷满足Davies限制，那么磁荷的场论半径大于其Compton波长，从而最小的能够吸收磁荷的黑洞质量是 $4M=1/m_H=1/(e^2m_g)$ ，Davies的推导用在磁荷商的结果是 $g^2e^2 < 1$ ，和Dirac量子化条件同时满足的空间还存在。

Davies用了黑洞的熵的概念，这在量子力学中才是存在的，所以Davies的结果是量子力学的。我们甚至可以猜测，他的结果甚至和量子引力紧密相关，因为黑洞熵和热力学第二定律应该和量子引力有关，虽然最后的不等式不包含Planck质量，这和弱引力猜测不同。

我们要谈的第三个不等式同样和量子引力有关，虽然表面上看起来不等式涉及的物理量甚至与量子力学都没有关系。这里涉及的动力学系统是流体，并且是所谓牛顿流体：存在切变粘滞现象，即当我们在流体的一个层面上施加外力时，流体会在垂直方向产生一个速度梯度，当然速度是和外力平行的。如果粘滞系数很大，那么需要的力就很大。Kovtun, Son, Starinets等人猜测，粘滞系数和流体的熵密度比值有一个普遍的下限，这个下限是

$\eta/ s > 1/(4\pi)$

如果我们恢复Planck常数h，在不等式右边有一个Planck常数，所以这个不等式只有在量子力学中才有意思。他们在

Holography and hydrodynamics: diffusion on stretched horizons

提出这个猜想。关于这个猜想，现在有很多说法。这个猜想是在有AdS对偶的强耦合的规范理论中发现的，这是一组很特殊的理论，Son等人觉得这个不等式也许对更广泛的流体是成立的。我们注意到，有AdS对偶的规范理论流体自然是量子流体，所以这个不等式成立并不令人惊奇。将猜测推广到所有自然界已知的流体，甚至是某种意义上自洽的流体，就不是一件平常的事了。

Bekenstein等人最近利用黑洞吸积流体的想法证明了一个类似的不等式

$\eta /s > a/(2\pi)$

上面的a是流体里的声速，因为声速小于1（光速），在非相对论流体的情形，远远小于1，所以这个不等式没有Son等人的强。同样，这个不等式的右边有Planck常数出现。他们的想法很类似Davies的想法，当黑洞吸积了流体之后，整个系统的熵不减少。Bekenstein等人的证明远比Davies的复杂，因为这里涉及到粘滞系数，需要用到流体的一些微观知识（如粘滞系数和自由程的关系）。Bekenstein等人的文章

The bound on viscosity and the generalized second law of thermodynamics

我们看到，在量子世界，特别是涉及到量子引力的世界，表面上看起来和量子引力完全无关的系统或理论必须遵从一些意想不到的限制，也许一个完美的量子引力理论是存在的，而完美的其它系统的存在却受到限制，例如，关于粘滞系数的不等式告诉我们自然界不应该存在理想流体。同样，不存在简单的强耦合量子电动力学，不存在一个有效能标高于Planck能标的量子电动力学，等等。

————————————————————————-

这篇博文写好不足3个小时，就有豆瓣上的反应了。我写这篇主要是和同行交流的，不是科普。20天内打算以这篇为基础为《环球科学》写一篇专栏，同样的题目，很不一样的表述。

豆瓣的反应：

有牛逼人懂这个么？
椰子啊椰子@喜迎08后 2007-12-03 17:59:29 　　来自: 椰子啊椰子@喜迎08后 (锦州)

博文略

Steve西游记.paper男
2007-12-03 18:10:52 Steve西游记.paper男 (杭州)

　　不懂物理很差

慢行火车™没有不散的高桌子
2007-12-03 18:21:01 慢行火车™没有不散的高桌子

　　不懂也没有兴趣。太专业了不讲得通俗点谁懂？

LipingTaBaBa
2007-12-03 18:26:53 LipingTaBaBa

　　看不懂.不过肯定不是普及读物,因为太晦涩,也不会是论文,因为没脚注,大概是民科

柳乐@聆听上帝性感的鼾声
2007-12-03 18:27:54 柳乐@聆听上帝性感的鼾声

　　看不懂，不过文章主题应该是想表达
　　
　　自然界不存在绝对的圆这类观点
　　

柳乐@聆听上帝性感的鼾声
2007-12-03 18:28:35 柳乐@聆听上帝性感的鼾声

　　http://limiao.net/554
　　
　　肯定不是民科

这篇文章发表于 2007年12月3日, 星期一 15:17:11，属于分类理论物理，已经被点击 14333 次。你可以下载本文的 PDF版本和LaTeX源文件，查看 HTML打印版或通过新闻聚合(RSS) 来追踪这篇文章的最新评论。

文章《拒绝完美》已有 40 篇评论

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21 Hui
2007年12月4日 15:16:46
>这个连接是怎么弄的啊。

? 俺没懂你的意思
22 possible
2007年12月4日 17:45:20
奇点应该是必然存在的，过于完美的世界是不可观测的，支持量子论
23 someone
2007年12月4日 21:07:58
to possible：
一個物理學理論，如果無法迴避奇點解，就是從邏輯上證否了其自身。
24 shanqin
2007年12月4日 21:56:52
to someone：
那么Godel不完备定理是不是证认了数学自身或者说数理逻辑自身？？
25 someone
2007年12月4日 22:49:56
完備性並不是一個必須的要求，自洽性卻是一個必須的要求。
26 黄山
2007年12月4日 23:08:38
“芮儿–好像有点意思。。 ” 哈，总算有个有点响应的人啦：）

芮儿博客上的个性介绍：最爱的完整体系－－我倒觉得对于宇宙或者微观来说也都是成例的。

－－正因为三维空间会因为物质质量及密度而向内（第四维）弯曲，弯曲的极致就成为一个自我封闭的三维空间。－－这对于大的宇宙天体及微观粒子都是成例的。

－－也就是说不但黑洞能形成封闭的三维空间，当微观粒子的密度足够大时，也会形成我们观测不到的极小的自我封闭的三维空间，而随着粒子密度的变化，这个封闭空间可以是时开时闭的。

－－因此，在我们观测粒子或者天体时，其实我们所观测的空间总是有“后门”的，并非是一个不变的纯净唯一的三维空间，不论宏观上或微观上的三维空间都会夹杂着许多自我封闭的三维空间，这些封闭三维空间的开合自然就影响了我们所处空间的观测结果，也就出现了宇称不守恒、破缺等“不完美”的现象及理论推导。

－－所以，宇宙是完美的，三维空间是破缺的。

哈哈～瞎诌呢～～
27 shanqin
2007年12月5日 2:15:35
无法回避奇点，是时空的完备性问题，而未必是物理定律的自恰性问题。
28 shanqin
2007年12月5日 3:07:58
GR在经典意义上无法避免奇点，确实说明其在极端情形丧失自恰性，不过这已经算是量子引力的范围了，而GR只是经典引力论。因此在极端意义下是失效了，但是在经典意义下仍然是自洽的。量子引力或许可以消除时空奇点，这是Hawking的半经典论证。比起老彭的宇宙监督这样的鸵鸟政策要好些。
29 someone
2007年12月5日 13:36:22
首先，提個邏輯形式系統（在這裡就指的是GR）的完備性，與時空的完備性，不是一碼事。但我相信，shanqin先生後來的回帖中已經認識到這個問題。
其次，在經典意義下，GR仍然是不自洽的，因為黑洞奇點的存在並不是量子效應，黑洞奇點純粹就是經典解。正如shanqin先生前面所說的，奇點的存在表明了時空的不完備性。可是，不使用QM，純粹在經典意義下求解時，前提是時空的完備性，而結論卻是時空的不完備性。於是，我們看到了A→┐A的邏輯形式。

還可以更進一步。Hawking以QM論證了宇宙監督假設的無效以及GR與QM的衝突。也就是說，Hawking證明的是：QM→┐GR。那麼，有人就要說，QM若為假，則GR仍然可能為真。
那麼假設QM為假。以Aspect實驗的結果可知，定域實在已被排除，若QM為假，則非定域性為真。非定域性為真，則GR為假。
因此，無論QM是否為真，GR都為假。
30 marksun
2007年12月5日 19:41:01
问李老师一个比较初级的问题，数学上的奇点是说函数失去定义的点。那么GR当中的奇点，究竟是什么经典物理量失去定义了呢？
31 李淼
2007年12月5日 19:50:12
marksun：

表面上看，奇点只是数学奇点，曲率变成无限大。物理上，如果该起点是类空奇点-即时间到此无法继续延拓下去，物理就结束在哪儿了，可是广义相对论的出发点中没有假定有可以终结的测地线或类时世界线。其次，如果奇点是类时的，那么在奇点处，为了解方程就要给出“边界”条件，这个条件是任意的，这样，理论就是不完备的。
32 Mark
2007年12月5日 20:15:56
shanqin:

比起老彭的宇宙监督这样的鸵鸟政策要好些。
——————————-
什么叫鸵鸟政策？
33 marksun
2007年12月5日 20:41:50
谢谢李老师的解释，好象明白了一点。但是对于类时和类空的概念还是没有准确的把握啊，物理基础太差。
类空奇点是物理世界的终点，因为时间无法继续延拓，是否可以说那个点上没有物理上的因果关系存在了呢？还有如果在这类奇点的“无限近旁”有定义，那么在奇点附近开集内的所有点上，这些很高的曲率值所度量的对象有明确的物理含意吗？
34 李淼
2007年12月5日 21:10:23
marksun：

所谓类空，就是像一个空间那样存在在那里，某个运动的东西会碰上去。

有一点使得物理不完备已经足够了。
35 shanqin
2007年12月5日 23:58:53
someone：
用逻辑学来对付相对论，我想爱因斯坦都可以算是搞伪科学了。对此不再评论。能够说“无论QM是对是错，GR都假”的的人，已经是我辈物理学子无法达到的境界了。
36 shanqin
2007年12月6日 0:00:14
另外，完备性如果不重要的话，Hilbert就不必为Godel定理而耿耿于怀了。
不过后世的数学家都无视这个逻辑问题，继续自己的主流数学研究。
37 shanqin
2007年12月6日 0:45:58
someone：
现在我来说说对科学完备性和自洽性的看法，只是个人看法，并非辩论。

首先，世界上没有完备的理论，所以现在物理学家还在发展所谓万有理论。

其次，世界上没有完全自洽的理论，考虑宇宙大爆炸初期，我们现在的什么理论用得上？GR中很多计算是用到线性近似的，严格的解很少很少。在强场中，线性近似就经常失效。

第三，奇点问题是经典GR的产物，这是事实，我想我当时没有把话说清楚。我的意思是奇点问题无法用经典GR消除，或许量子效应会抹去奇点，但是Hawking的证明是半经典的，所以未必可靠，所以可能连量子引力都无法处理奇点。

第四，奇点表明时空不完备，测地线在奇点处断裂。同时，奇点表明GR对此情形无能为力，这也就是当初爱因斯坦拒绝黑洞解的主要原因。但是这个并不影响GR在非极端情形的适用性，因此也无法因此说其是假。如果这个可以作为判定GR为假理论的判据的话，QM应该更假，因为QM的基础问题要严重得多，严重到主流物理学家宁可无视也不想徒耗精力去解决。

第五，Landau极的存在一度被认为是QED乃至整个场论的失败，但是在达到Landau极的极高能量的过程中，可能出现可以解决这个问题的新物理，但是这已经不是低能有效场论的范畴，以高能情形出现的状况来否认低能有效场论，本身存在逻辑问题。同样，以极端情形出现的奇点来否认只适用于非极端的经典情形的GR，也一样存在逻辑问题。自洽性有有适用范围的。
38 someone
2007年12月6日 15:47:18
理論的完備性，只是一個已經過去的時代的追求而已。如今這個年代，還追求理論的完備性，只能說是有一點遲鈍了。既自洽又完備的邏輯形式系統不是不存在，但它能夠解決的實際問題是不足以滿足現實需要的。

有關現實世界的科學理論，是否能夠做到既自洽又完備，顯然還是未知的。
但是，我們至少可以知道，現有的某些理論是否自洽。GR之不自洽，則是顯而易見的。GR能夠解釋某些現象並不假，但解釋能力並不足以為其不自洽辯護。也正因為GR的不自洽，發展量子引力才提到了議事日程上。
QM基礎問題，也不足以為GR之不自洽辯護。QM基礎問題，並不在於其邏輯基礎，而在於這個理論很難用日常的觀念來理解，僅此而已。而我前面有關QM與GR的邏輯關係之推導，看不慣結論的話，大可從推理的前提和過程來批駁一番。
奇點對於GR來說恐怕也不能說是極端情形了。當今主流天體物理認為，黑洞是一種很普遍的現象。同時，已觀測到很多被認為是黑洞的天體，探測黑洞奇點通過黑洞輻射對外界的影響也已提上議事日程。因此，黑洞奇點問題已經是迫在眉睫了。
QED則不一樣：1、Landau極點真的是一個極端情形，而Landau極點的能級是否能夠達到都還是一個問題，它完全有可能成為絕對0度那樣的東西。2、就算Landau極點的能級能夠達到，那也是點粒子模型的問題，而不是QED本身的問題。
39 gr******
2007年12月6日 17:41:27
no,you are wrong.
从前的理论在解释“某些东西”的时候，都有一点点错误。一代代物理学家正是因为追求完美，所以才舍弃它们的。
呵呵，弦理论不错，brane world不错。
40 周星驰
2007年12月6日 18:52:36
someone
前提是時空的完備性，而結論卻是時空的不完備性。於是，我們看到了A→┐A的邏輯形式。
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没有假定时空是完备的。
相对论真假就看超光速，不用说那么复杂吧。
李老师好，
其实我不是喜剧演员，

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拒绝完美

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