弦论小史（3）
（本文还是为《现代物理知识》写的文章，请勿转载）
我已经用了三分之一篇幅谈了20世纪末的两朵乌云，借此说明我们正处在新一轮物理学革命的前夜，当然这种判断非常个人化。人们也许会质疑，飘在我们头顶的暗能量和暗物质这两朵乌云与19世纪的两朵乌云完全不同，因为我们面对的是远离地球发生的事，而19世纪的两大疑惑是地面上的实验所带来的。这种质疑不无道理，但我们总可以采取一种历史姿态，认为历史不会完全重复自身。
我个人认为，目前我们面对的乌云将带来的革命基本上还是还原论的革命，我们只有将我们的基本的还原论理论推进一大步，才有可能理解暗能量和暗物质。所以，这两大问题的解决或多或少将与量子引力理论有关。人们喜欢说，弦论是量子引力理论的所有候选者中最有希望的理论，我十年前对此坚信不疑。今天我虽然不再敢说弦论有很大的把握成为正确的量子引力理论，但客观地说，弦论相较其他理论，还是有很大的优势。
具有讽刺意味的是，弦论的发现与引力无关，与量子引力更加无关。整整四十年前，弦论起源于强相互作用理论。四十年前的粒子物理如同今天的宇宙学一样，充满新鲜的观测数据，而理论则混乱不堪。先是前苏联的兰道学派发现量子电动力学中的“莫斯科之零”（前年出现一部同名电影，与物理无关），使得人们认识到作为量子场论，量子电动力学并没有严格的定义，到了60年代，越来越多的共振态的发现，使得本来存在强耦合问题的强相互作用理论变得更加困难，没有希望在场论的框架下得到解决。另一方面，弱相互作用虽然很弱，但人们很早就知道只有所谓树图的计算才是可信的，因为费米的弱相互作用理论不可重整。在我做学生的时候，已经进入80年代，中国学者写的量子场论教材还是用费米理论，告诉我们粒子物理是一个怎样没有希望的理论。当然进入70年代，强相互作用和弱电相互作用已经完全确立，至少在原理上。
60年代的关于强相互作用理论的流行观点是伯克利学派的观点：量子场论应该被彻底抛弃，代之而起的理论框架是散射矩阵理论。只有很少的原理可以被应用，例如相对论不变性原理，散射矩阵的幺正性和解析性。以Geoffrey Chew为首的伯克利学派鼓吹“拔靴带”理论（bootstrap），认为散射矩阵的几个原理提供了足够线索让我们来解开强相互作用甚至所有相互作用的靴带。到了60年代后半叶，人们认为，强子之间的散射既可以用共振态作为中间态来描述，也可以用交换共振态来描述，这两种描述是完全不同的，所以强相互作用应该存在一种对称性，叫做s和t道对偶性。当很多人怀疑这种对偶性是否真的可以在数学上实现的时候，年轻的Gabriele Veneziano在1968年发表的一个简单的公式，满足这种对偶性，同时满足散射矩阵在树图上的性质。
Veneziano公式很快被别人推广，推广的方向有两个。一个是改变这个公式使得更接近实验，一个是将它推广到多个粒子的散射上。通常，推广已有的公式只需要技术，很多人可以做到这一点，因为技术可以通过正规的训练获得。而从新的角度重新表达和理解已有的公式则需要洞察，在众多推广Veneziano公式的人中，只有少数人做到了这一点，如Nielsen和Nambu。他们的理解使得后来的发现成为可能，即，满足对偶性要求的散射公式其实不能简单地理解为粒子之间的散射，而是弦与弦之间的散射。这种新的理解伴随对一个重要性质的认识，即共形不变性。
传统粒子的相互作用通过费曼的努力有一个非常直观的表达，就是，任何复杂的相互作用可以用图来分类。给定一个图，图中的线代表一个粒子的运动轨迹，线与线的交点代表粒子之间的局域相互作用。例如，如果我们看到三条线交于一点，如果其中两条线代表的粒子是相同的，另一条是不同的粒子，我们可以说是一个粒子辐射出另一个粒子。如果三条线都不同，那么一个粒子在辐射出另一个粒子后变成了第三种粒子。在60年代末，人们发现，满足对偶性的散射振幅同样也可以用类似费曼的办法来分类，不同于粒子的是，现在一根弦不是简单地辐射出另一根弦，而是通过弦的断裂和弦与弦的端点的链接发生相互作用。这些相互作用同样可以用图来表示，有趣的是，这些图比费曼图要简单多了。例如，给定弦的个数，只存在一个树图，一个单圈图，等等。这些图是在时空中画出的两维面。
（描述弦相互作用的高圈图）
共形不变性指的是这些两维面拉伸的不变性。认识这个不变性走了很长的、看起来还挺曲折的路。这是物理学发展的特点，最后看起来简单的性质有一个演变的历史，在演变过程中，这个性质在不同的时期表现为不同的东西。到了70年代中期，人们对共形不变性的本质已经认识得很清楚了。但共形不变性在弦论中起到的原理性的作用还是要等到80年代中期才会体现出来。
弦论发展的第一个阶段是1968年到1974年，很多计算散射振幅的微扰论技术是这个时期发展出来的。Veneziano公式被Nambu等人发现是描述四个开弦态的散射振幅，这个公式被Virasoro所推广，后来发现，Virasoro公式描述的是四个闭弦的散射振幅。所有这些工作都被推广到含有多个开弦和多个闭弦的散射过程中去。在纯技术层面上，当时人们关心的有两个问题。第一个问题是既然这些振幅其实是弦与弦之间的散射，那么所有弦态的散射振幅是否满足散射矩阵的原理，如幺正性？这个要求并不简单，很快人们就发现这个要求导致弦的最简单的态是快子，即这种态的质量平方是负的。当时研究这些所谓对偶共振模型的人觉得介子就应该是那个最简单的态，质量平方是负的这个事实引起了很大的困扰。另一个问题是如何将已知的散射振幅推广到圈图，因为不论是Veneziano公式还是Virasoro公式描述的都是共振态或弦态的树图效应。将这些公式推广到单圈图后，就像最近Joel Shapiro回忆的那样，单圈的散射振幅被发现没有场论中通常遇到的发散，所以弦论有很好的紫外性质。
弦论的避开了通常紫外发散的数学原因在当时已经知道，就是Schwinger参数取值范围不同与粒子单圈图中的取值范围。粗略地说，Schwinger参数对应的是在圈上跑动的粒子的本征时，当然在弦论中它的解释要复杂些，因为除了本征时外，弦的世界面还有形状，所以Schwinger参数是一个复数，这个复数的取值范围不能是整个复平面，在那个时期，这个要求来自于散射振幅的自洽性。到了80年代，人们发现其实来自于单圈图作为两维面的对称性质。
单圈图在闭弦中就是一个环面，环面有两个方向，对应两个圆。我们可以取其中一个圆对应于闭弦，另一个圆对应闭弦跑动的轨迹：在时空中一个封闭的轨迹。如果这个轨迹很小，弦在时空中运动的范围就很小，所以当第二个圆变得越来越小时，这个时候环面描述的是一个高能过程，因为Heisenberg测不准原理告诉我们小距离就是高能量。在粒子的费曼图中，这个极限往往带来紫外发散。
（单圈图：环面）
世界面的共形不变性可以用来将这个环面放大，放大之后，我们可以认为第二个圆对应于弦，而原来的第一个圆对应于弦在时空中运动的轨迹，这个轨迹在应用共形不变性之后变得很大，这是一个红外过程。所以，共形不变性使得原来的紫外过程变成红外过程，如果红外过程没有发散，那么紫外发散也就不存在。这是弦论紫外性质比粒子理论的紫外性质好的根本原因。
由于纯粹技术的原因，弦论即使到今天也没有被严格证明是有限的，因为在计算高圈图的时候，涉及到的Schwinger参数以及世界面上的费米场带来的参数太复杂。但在简单的时空背景下，如10维时空，弦论的许多其他性质要求弦论的微扰振幅是有限的，例如，当弦论在时空中含有性质相同的两个超对称时，弦论有所谓的强弱对偶-强耦合的理论等价于同一个理论在弱耦合情形，这种对偶的成立条件当然包含有限性。
最早的对偶共振模型只含有时空中的整数自旋的态。例如那个质量平方是负的快子，自旋为零，所以大家认为可以用来描述介子。弦论中的其他弦态同样对应于时空中自旋为整数的“粒子”，这里，当我们说粒子时，指的是他们的时空量子数和粒子一样，包括能量、动量和自旋。当然，任何时空量子数个数有限的态表面上看都和粒子一样，这是Wigner定理所决定的。
在弦论发展的第一个阶段，为了避免快子，也为了引入时空中的自旋为半整数的态，Ramond，Neveu和Schwarz分别在世界面上引进费米场。要知道，世界面上的变量完全对应于单个弦态的性质，这和粒子很类似。我们描述粒子时，在粒子运动起来的世界线上引入“标量场”，一个标量场其实就是一个时空维度，世界线上的某一点上的所有标量场的取值决定了该点在时空中的位置。同样，弦的世界面上一点的标量场也决定了该点在时空中的取值。那么，费米场会带来什么？简单的解释就是我们引进了费米“时空维度”，这样的维度当然和真正的时空维度不一样，但确实带来新的自由度。我们也可以在粒子的世界线上引入费米场，费米场的量子化带来Dirac矩阵，所以世界线上的费米场使得描述自旋为半整数的粒子成为可能。Ramond当初引入世界面上的费米场同样是为了引入时空中自旋为半整数的弦态。
在弦论的最初六年间，人们没有意识到弦论可以用来描述引力，尽管弦论含有任意高的自旋态。物理学史和人类活动的其他历史一样，在每个固定的阶段，我们只看到我们想看到的。那个时候，弦论的发展可以说完全是被实验所驱动，所有的努力都是和描述强相互作用有关，包括在两维的世界面上发现超对称：有了标量场和费米场，使得世界面上的超对称成为可能。两维超对称只是一个附带的发现，大家关心的是如何使得介子的质量更接近实验数值，如何描述自旋为半整数的共振态。
2008年2月27日 20:40:10
shanqin：
正确。 Zwiebach的书我没有看过。
2008年2月28日 0:09:12
zwiebach’s book is great,and it is much easier to understand.You can read it for fun. But it is not very useful for doing research,since it is too elementary.If you want to learn some real stuff about string theory,and want to do some research on it, polchinski is the best choice.
2008年2月28日 1:18:08
becker姐妹写的那本书比polchinski的简单，可以作为入门的书来看，然后再看pockinski的。我刚开始学弦论的时候这本书还没出，只得艰难的啃polchinski。
555。
2008年2月28日 12:11:14
哈……能在《现代物理知识》上看到李淼的文章了~~
偶在07年第一期的中学园地里发过一篇很可爱的小文章的。。。：）
2008年2月28日 12:23:07
李老师好，
我偶尔会来“博克李淼”转转，不知你是否会记得我（我初一的时候也给你发过邮件）
现在高三了，不过一年前就开始在准备申请去美国读本科，选了8个物理排名top11的学校申了。上个月收到Illinois Urbana-Champaign的admission，剩下的几个学校要下个月出结果。
接下去几个月我想花点时间多学点东西，不知道您会不会开本科生书单呢？：-）
我找到一篇Gerard’t Hooft的How to become a good theoretical physicist:
http://dreamlandsci.5d6d.com/thread-87-1-1.html
这篇文章上很多书直接联接到Amazon了，不一定找得到电子版。。。。
想听听您的意见。。。
2008年2月28日 12:44:01
纠正刚才的一个错误——大概是MIT的opencourse的教材都是链接到amazon的。Hooft的这篇文章给出的教程都有下。。。
2008年2月28日 12:56:17
Albert：
祝贺你。
不用开书单，因为我觉得你现在最要准备的是英语。如果一定要准备一点其他，数学准备一下有好处。
顺便问一下，你是自费呢，还是有全额奖学金之类的资助？
2008年2月28日 13:12:54
李淼：
UIUC是公立的，所以没有钱给国际学生
Stanford/Cornell/Princeton/MIT 有钱，不过他们的Desision在三月底
如果都不要我的话，就只能自费了……反正其他学校结果还没出来，等都出来再看好了。
2008年2月28日 16:25:02
FM:
谢谢你的评论！
把两人的放一起学就可以，可惜的是我将来两三年无法研究弦论，了解些基础和前沿还是需要的。
2008年2月29日 3:55:48
yeah,polchinski’s book is hard to digest. Even witten fears polchinski’s book somewhat. I heard a story about this: when witten was visitor prof. at caltech, he was giving a lecture about string theory by using polchinski’s book. But after a while, he had to give up, and made the following comment about polchinski’s book:”I don’t know what he is talking about, I’d better use my own book.”
But I saw a lot of people who couldn’t go very far in string theory. one of the most direct reasons is that they know very little about qft. if you want to learn polchiski, it’s a must to spend at least half year to learn some qft. other whiles one cannot go very far. In fact, most of the big shots in string theory are very good at qft. for example, witten and polchinshi are also absolutely first-rate qft theorists.
2008年2月29日 16:19:03
李老师,这件事您听说了吗?? M理论方面的
“宇宙早期生成球形玻色膜理论”通过鉴定 美日同行计算机模拟实验证实该理论确立
http://www.chinainfo.gov.cn/data/200711/1_20071128_162826.html
2008年2月29日 20:32:21
瞌睡虫：
第一项工作没有听说过，第二项听说过。
2008年3月1日 0:48:56
FM:谢谢你的故事和建议！我想Polchinski的书难懂一方面确实由于很多读者QFT的基础不够，另一方面也可能因为他的书一开始的起点就很高，甚至无法为了读懂这些内容而去找合适的基础读物作为铺垫，这才最要命……
2008年3月1日 18:25:39
我个人认为，目前我们面对的乌云将带来的革命基本上还是还原论的革命，我们只有将我们的基本的还原论理论推进一大步，才有可能理解暗能量和暗物质。所以，这两大问题的解决或多或少将与量子引力理论有关。
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还原论和演生论在哲学上是两大对立的观点，在科学界是两种不同的文化，在科学的发展中是不同的方法论。那种方法更好，并无一般的、绝对的标准，视研究的对象、层次而定。（也不是所有的科学进展都可以用这两种方法之一来概括。）无疑的是，二十世纪的物理学，自量子论兴起之后还原论占了上风。这是因为量子论之兴起源于原子结构的研究；其后用量子理论对核结构及核子结构的研究，对化学的研究、和对固体物理初期的研究，对还原论更是推波助澜。但是近几十年凝聚态理论，特别是强关联凝聚态系统和量子相变的研究，推动了演生论的复兴。强关联凝聚态系统的元激发多是演生现象，从还原论来看有着极其怪异的、完全不可理解的性质，如电荷分数化。
驱散目前我们面对的乌云，那种方法论将更为有效？这确实是一个有兴趣、有意义的议题。理解暗物质也许延续还原论的方法还有效，理解暗能量很难说，演生论的方法有效的可能性不可忽视。我个人认为，暗能量的问题是一个大尺度的问题（暗能量的量级已经暗示一个新的宇宙学的大尺度的重要性），而且涉及相变的问题，而且从现有的由还原论得到知识来看，有着极其怪异的、完全不可理解的性质。这三点和强关联凝聚态系统当年面对的问题非常相似，所以演生论的方法有可能更为有效。但是暗能量和宇宙学的问题，从演生论的角度来看，有一点与强关联凝聚态系统非常不同。就是强关联凝聚态系统的构成粒子和相互作用规律都是已知的，而对暗能量这些都是未知的，除非认定就是弦论给出的框架。（即便强关联凝聚态系统构成粒子和相互作用规律都是已知的，对演生现象的理解也未必总有很大的直接的帮助；主要还是实验揭示的现象给出最大的提示。）这样的思路似乎指向弦论和演生论的某种联姻将会带来新的革命。
2008年3月5日 2:56:22
关于弦论教科书，我还注意到一本Ortin的Gravity and Strings，比较偏引力方面，也许可以参考。
2008年3月6日 19:15:33
Hi junbao, thank you for bringing ortin’s book to my attention.
I agree with shanqin that polchinski’s book has the most advanced level of string theory. even if you are very familiar with qft, you’ll still have a hard time with his book. polchinski is a top man. it is even harder for a top man to write a “easier” book.
now let’s change the topic a little bit. i don’t think it’s a good idea to study string theory. for 5,6 years, there’s very little progress in string theory.In us, a lot of string theorists don’t suggest students to do this theory anymore. The golden time’s gone. it’s nearly impossible for a string guy to get a position.even it is not easy to find a postdoc position.
2008年3月7日 9:25:26
FM, you forgot to mention Polyakov, father of the Polyakov string and a lot other stuff, and Nambu, father of Nambu-Goto action, and Susskind, supposedly father of some string theory, are all first rate trained in quantum mechanics and quantum field theory.
I am sure there are many others, my tiny small point of mentioning these representative classes is that they are probably the same level in qft if not better than Witten and Polchinski
2008年3月7日 9:30:15
Physicists reading Polchinski is like mathematicians reading Gelfang & Manin, with more experience, one appreciates more of them.
On the other hand, I haven’t managed to turn a page of Polyakov all through these years. Not that one cannot do it, just like the learning of any arts, such as martial arts, one fear sometimes that one is still not ready and it will only hurt.
2008年3月7日 11:11:15
youtube link
2008年4月11日 17:59:36
原來李老師說的 Schwinger参数
就是torus的模參數
即 torus的 fundamental domain
現在才曉得 慚愧