全息超导
（悬浮在磁场中的超导体）
自从铜基高温超导体在20多年前被发现以来，理论家们一直很“失败”，直到今天，我们基本上还没有这类超导体的定量理论，超导的微观机制还并不十分清楚。
AdS/CFT表面上看起来距离超导很远。在成功地运用到QCD，特别是色浆的研究之后，一些人开始寻找高温超导的全息理论。将近20年前，研究场论和弦论的人都感到，QCD的禁闭问题和高温超导问题是一类问题，解决其中之一必然导致另一个问题的巨大进展。没有想到，也许解决这两个问题的最终途径还是弦论，都是通过AdS/CFT。
故事也许从S. Gubser开始，在今年一月份的文章
Breaking an Abelian gauge symmetry near a black hole horizon
他指出，在一个Abelian Higgs和引力系统中，一个带电的黑洞的视界表面上由于电荷的原因，使得规范对称破缺，从而使得视界表面成为超导。我们可以想象，如果这个系统有一个全息对偶，那么黑洞可能对偶于一个超导态。这个超导态应该是2+1维的，和高温超导体一样。
Gubser的模型后来被Hartnoll, Herzog和Horowitz继续研究，在文章
Building an AdS/CFT superconductor
中，他们计算了超导相变的临界温度（就是黑洞的温度），这个相变是二级的。
Gubser本人将他的结果推广到一个引力和non-abelian规范理论中去：
Colorful horizons with charge in anti-de Sitter space
这些工作还被推广到有磁场存在的情况。顺便提一下，台大物理系有人在做这方面的研究。
和最近的M2膜研究的热潮相比，全息超导的研究不算很热，但有着稳定的进展。有兴趣的人应该关注一下，也许将来人们能够最终找到高温超导的全息理论。如果真的是这样，凝聚态领域的超导专家们将大跌眼镜。M2固然令人兴奋（新奇的理论结构），但全息超导则有重要的实际价值，虽然理论并不显得那么有挑战性-这也许是表面的，因为最终要和实际超导体类比还是一个比较困难的问题。
2008年5月31日 21:44:57
Shi Zonghua：
现在大家基本上都是手写 tex 代码吧？用 Ctex 的在国内居多。那种所谓的 scientific word 或者类似的集成以模仿“所见即所得”很差劲
2008年6月1日 1:31:24
丘成桐和别人合著的【微分几何讲义】写的不错，提到弦论与几何。
=================
这本书确实是经典的大师之作。不过我喜欢的原因不是因为提到弦。
其实Yau的过人之处在于将几何分析和经典GR结合得非常完美。这方面的文章很多很多，但是Yau的确实是一流中的一流。
Yau对于CY空间的偏好，并未给这方面造成多大影响。虽然这类空间是与他本人的出色工作直接关联。于是，他对弦论的影响也无法和Polchinski，Witten等人相比。他这些年的工作集中在mirror Symmetry。但是这方面整体上突破不大。在看这些文章时，我一直把他当代数几何学家看。而在看Witten的一些文章时，我把Witten当QFT专家看，这就是我对他们不同的印象。在他们各自的研究范围内，他们的侧重是很明显的，Witten大量从事Riemann面的工作文章中，我看到的也是大量的物理。真正能够数理统一的人现在世界上几乎没有。
并不是打压谁的问题，而是学科间的距离越来越大，似乎看上去在不断融合，实际上分化得程度远大过融合的程度，这使得我们很难在不同领域同时取得很好的结果。
个人意见，欢迎批评：）
2008年6月1日 2:12:35
李淼教授32楼的话讲得很好。可以说物理学家和数学家各有各的直觉，各有各的价值观。数学和物理的交集并不大，可以说它们是截然不同的范畴。“一个好的物理学家必然也是一个好的数学家”—这句话实为大谬！按着一句话去做的人必然以失败而告终（当然牛顿和威腾是例外）。想想看吧，假如一个化学教授说“一个好的化学家必然也是一个好的物理学家”，搞物理人听了会有什么感受？
2008年6月1日 3:50:06
shanqin :
“Yau的过人之处在于将几何分析和经典GR结合得非常完美”
===============
这是不准确的，yau年青时候贡献在于解决了calabi猜想。在解决的过程中完美的将分析和几何结合在一起。而不是将GR和几何分析结合在一起。几何分析中一大类问题就是如何求解einstein方程。这个问题在老爱提出gr之后就已经存在了。只不过yau把求解方法发展到了极致。他的方法对于几何的影响还是很大的。
另外，yau在90年以前的贡献也不只是CY，比如Donaldson-Ulenbeck-Yau定理。这个对于了解4维规范场还是起了很大的作用的。从物理角度看，4维规范场要在联络的模空间上做积分。如果只考虑instanton的模空间的话，这个积分如何定义是依赖于我们对于这个模空间几何结构的认知的。物理中不大care这个东西，认为自动存在。但是数学就不能自动认为了。yau的这个定理打通了微分几何方面和代数几何。历史上还是有很大意义的。对于物理的意义个人认为在于让我们在某种情况下更放心的去做路径积分了。
yau在90年代以来比较关注mirror symmetry，一方面是受物理地影响，更重要的一方面来自于数学。因为CY在数学里面太优美了。大家想去做分类。而这个想法和物理不谋而合。我不知道做分类的想法来的早，还是弦论CY紧化的想法来的早。但是在这个层面上不谋而合是肯定的了。这也是yau为啥这么关注mirror symmetry的一个原因吧，请注意这个原因主要是来自于数学而非物理。
目前无论数学圈里面和物理圈里面，我想没人能够同时用数学，物理两套思维方式去考虑问题。对我个人来说，最amazing的地方是，那些牛人各自用各自的思维方式考虑问题，然后发现关注的东西互有交叉。这个太奇妙了。也许这就是数学，物理永恒的魅力吧。
2008年6月1日 10:32:53
newstern:
我觉得真正学明白的人没有人相信“一个好的物理学家必然也是一个好的数学家”这件事情。物理学家分好多层面，有些人地工作需要很多数学，有些人不需要。个人觉得站在最最最最最前沿的那些人应该更需要物理的直觉而不是数学。数学是在需要他出现的时候才应该出现，而不是一开始就会出现。比如用物理猜了个东西，然后需要写出来，这样需要数学的一些帮助。再有就是完善猜测的时候也需要数学。当然这是从物理的角度来说。从数学的角度来说就是另外的故事了，就不多贫了。
2008年6月1日 10:42:36
笑傲江湖：
“丘成桐和别人合著的【微分几何讲义】写的不错，提到弦论与几何。数学与物理把宝都压到一个抽象的地方，那物理实在呢 ”
===============
很抱歉，恕我冒昧的问一句您是否真的看过yau的书，是否真的懂得yau的工作？如果您没怎么看过或者说只是翻翻而已，那么您的评论好像不大客观吧。如果您看过之后仍然这样评论，那我只能遗憾的告诉您，您对于yau地工作并没有真正理解。
2008年6月1日 10:50:10
李老师：
想来想去还是和您打个招呼吧，借您的宝地胡侃了一堆没啥用的东西，还请您不要介意。李老师，国内弦论圈子里面有人做一些偏数学地工作吗？
2008年6月1日 12:28:05
笨鸟：
不用客气，你说得很好。
国内有一些做偏数学的工作的，如西北大学的侯老师，岳瑞宏也有点数学化，浙江大学的冯波好像也在数学化。我有个学生张鹏也偏数学，他在Yau那里做博士后，不过刚起步。其实，国内像我这种风格的反而少。
2008年6月1日 13:59:42
笨鸟：远看成岭侧成峰，远近高低各不同。
2008年6月1日 14:01:37
侯教授写过【物理学家用微分几何】
2008年6月1日 16:37:27
侯教授有2人啊。
侯伯元 侯伯宇
2008年6月1日 18:21:36
“侯教授有2人啊。
侯伯元 侯伯宇 ”
西北大学的侯教授指的是侯伯宇，侯伯元在中科院研究生院工作。
2008年6月1日 18:28:12
lixkyx
谢谢，我指那书是2人编写的，虽然我还没学那本书了，只翻了翻。确实，个人觉
得国内的书，部分是很好的，至少学起来很快的。
2008年6月1日 20:27:19
丘成桐和别人合著的【微分几何讲义】写的不错，提到弦论与几何。
====================
写的太棒了，几乎让我迷上了数学。
2008年6月2日 17:30:00
::“Yau的过人之处在于将几何分析和经典GR结合得非常完美”
===============
这是不准确的，yau年青时候贡献在于解决了calabi猜想。
==============================================
Calabi猜想和正质量猜想是Yau年轻的时候的两大支柱成果。我没有提及Calabi猜想这个贡献是我的疏漏，谢谢指出。
::在解决的过程中完美的将分析和几何结合在一起。而不是将GR和几何分析结合在一起。
===============================================
经典GR就是Psuedo-Riemannian几何的各种形式发展。几何分析本就是微分几何的分支，只是重点在于用非线性偏微分方程的技巧巧妙解决微分几何问题。在Yau的领域中，他的一大重点就是寻求时空几何的一些结果，这自然到处都是GR语言。因此他在这方面的工作是将GR与分析结合，在其他方面的，那是其他方面的事情。
::几何分析中一大类问题就是如何求解einstein方程。
=============================================
所以几何分析就是将GR与分析结合。人们后来发展那么多几何手段，基本上在时空几何方面都是从Einstein的场方程出发，有时候甚至将Schwarschild时空作为重点标尺，例如Penrose不等式与黑洞监督原理。
::这个问题在老爱提出gr之后就已经存在了。只不过yau把求解方法发展到了极致。他的方法对于几何的影响还是很大的。
==============================================
就是因为那是GR之后才有，所以我把这个领域的一大基础归入GR，而不仅仅是几何。经典GR本身就是几何动力学。
::另外，yau在90年以前的贡献也不只是CY，比如Donaldson-Ulenbeck-Yau定理。这个对于了解4维规范场还是起了很大的作用的。
=========================================
领教了，谢谢。
::物理中不大care这个东西，认为自动存在。但是数学就不能自动认为了。
========================================
物理学家不care，而数学家care的东西很多，比如Yang-Mills的能量隙问题，Weinberg直说物理学家不关心，让数学家解决去
::yau的这个定理打通了微分几何方面和代数几何。历史上还是有很大意义的。
==============================================
打通微分几何和代数几何的更早更重要例子是Kahler流形的大规模研究，这包括后来Yau解决的Calabi猜想，就是Ricci-flat的Kahler-Einstein流形（CY流形）的确认。当然，在这个研究之前，代数几何与微分几何的关系从来就是不绝如缕。
::对于物理的意义个人认为在于让我们在某种情况下更放心的去做路径积分了。
==============================================
实际上物理学家一直很放心得用路径积分，不然Non-Ablean场论在70年代不会发展得那么迅速。只有一些数学家才一直疑神疑鬼。对于这种“严格”的数学家，再多的定理都无法使其放心使用路径积分，不过他们会不断证明一些定理，宣称可以让人更放心得使用路径积分……
::yau在90年代以来比较关注mirror symmetry，一方面是受物理地影响，更重要的一方面来自于数学。因为CY在数学里面太优美了。大家想去做分类。而这个想法和物理不谋而合。
===========================================
数学物理的很多课题本来就是如此，在物理上有用，在数学上自身也很美。从数学上说，从复一维的椭圆曲线到复二维的K3曲面，再到复三维的CY流形，承接非常自然。不过CY在数学上持续热门，很大程度上因为人们对于弦论的热衷。我甚至认为，从事CY的数学家比弦论专家更相信弦论。
我不知道做分类的想法来的早，还是弦论CY紧化的想法来的早。但是在这个层面上不谋而合是肯定的了。这也是yau为啥这么关注mirror symmetry的一个原因吧，请注意这个原因主要是来自于数学而非物理。
========================================
我没有说这个想法直接来自物理，不过我的看法在上段已经说了。另外，在1978年Yau解决Calabi猜想确认出CY流形的时候，分类自然就已经开始启动。而CY紧化是在1984年的事情。
2008年6月2日 22:05:17
shanqin:
关于几何分析，其实我们基本上没大的差别。我把yau看做几何分析学派的开创者，yau之前的几何分析我称之为雏形。而你认为几何分析在yau之前就有了。我觉得我们俩的认识上的区别其实并不大。：）
“打通微分几何和代数几何的更早更重要例子是Kahler流形的大规模研究，这包括后来Yau解决的Calabi猜想，就是Ricci-flat的Kahler-Einstein流形（CY流形）的确认。当然，在这个研究之前，代数几何与微分几何的关系从来就是不绝如缕。”
====================
你说的很对。不过“Kahler流形的大规模研究，这包括后来Yau解决的Calabi猜想，就是Ricci-flat的Kahler-Einstein流形（CY流形）的确认”很多应该算作是复代数几何或者复几何的范畴吧。毕竟有联络嘛。纯的代数几何里面不会有联络的。很多人把复几何笼统的归到微分几何范畴。其实你从课本上就能看出来，除了griffith的书之外，没有哪本讲代数几何的书里面会有联络的。基本上全部按照scheme的语言来讲的。我说的代数几何指的是grothendieck的那套scheme的东西。donaldson-ulenbeck-yau的工作链接了ASD联络模空间和stable bundle的模空间，后者的定义是在代数几何意义下的，前者是在微分几何或者复几何意义下的。不知道你是否读过witten早期关于chern-simons的工作。他那篇经典文章里面用到了一个60年代关于黎曼曲面平坦联络 moduli space和stable G-bundle moduli space的一个关系。这个关系是非常非常重要的链接微分几何和代数几何的纽带。donaldson-ulenbeck-yau的工作推广了这个纽带，也就是说将代数几何中高维stable bundle和微分几何中的联络联系起来了。这个是非常非常漂亮且重要的结果。让人们对于stable bundle的认识更进一层。
“不过CY在数学上持续热门，很大程度上因为人们对于弦论的热衷。”
===============
这个是我认同，string的发展促进了人们对于CY的了解。
“从事CY的数学家比弦论专家更相信弦论。”
===============
这个我不大认同。大部分从事CY的数学工作者对string并不熟悉，有些一点都不知道，尤其是那些从很纯的代数几何角度来研究的数学家。因为发展到现在很多string里面的猜测已经严格化为数学了，并不是单纯string意义下的猜测了。简单的说如果string是错的并不意味着数学猜测是错的。所以对于数学家来说相不相信string懂不懂string并不是件大事情。
2008年6月2日 23:09:49
笨鸟：
我同意你的看法，Yau之前的几何分析其实未成气候，以至于Yau以及他的合作者（如Peter Li，Richard Schoen）等人的工作出现后，几何分析都被称为Yau学派。
代数几何方面，我确实很推崇Gronthendieck那套东西，一部分是因为其伟大深刻，另一部分原因上我无法看懂……所以我听别人讲到代数几何时，仍然联想到G氏之外那种比较几何化的代数几何，而不是代数化的。Yau在复几何方面也做过很多重要工作，比如早期和Siu的一些合作。复几何一直是数学大热门，代数几何，微分几何和多复变在那里纵横交错。
对于你提到的Witten的文章，由于我平时比较偏爱的是Witten在QCFT和超对称场论有关的工作，所以你说的那篇文章我虽然一直下载在电脑里，却一直没有认真看，呵呵
确实我说CY方面的数学家比弦论方面的专家更相信弦论，是一种戏言。因为我觉得很多数学家在底气不足时总喜欢说这个这个这个在物理上很重要，所以哪怕他们不清楚那些物理细节，打心里也希望那东西在物理上真实存在，也就不会在外人问起不知从何说起了：）
关于Yau在几何分析的工作，我之前说的确实以偏概全，之后又有偷换概念之嫌。因为Yau的工作不仅在于将非线性PDE用到时空几何（经典GR）之上，而在纯粹的微分几何领域也大量应用了这个工具，所以我谢谢你之前的指正。
2008年6月3日 2:07:03
李老师这里真的是个大课堂，楼上师兄的讨论比一堂数学、物理史课还生动。
2008年6月3日 2:52:11
shanqin:
：）你太客气了。其实我也是刚刚入点门，所以指正是不敢当的。大家交流交流这样有助于认识进步，毕竟个人的认识难免会有疏漏的地方。
witten关于chern-simons和3维引力的早期的一系列文章，强烈建议你读读。非常非常精彩。读完之后你会发现他能写出06年那篇langlands program的文章不是没有道理的。他早期关于chern-simons和3维引力的一系列文章大量引用了Hitchin关于hitchin moduli space和hitchin integrable system的结果，所以他对于hitchin的那套东西的熟悉程度物理圈子里面没人能出其右。hitchin moduli space这个玩意在那个langlands program的文章中是比较关键的。
2008年6月3日 22:08:54
笨鸟：
谢谢建议，我这就去调出来仔细看看。
Hitchin本人是数学物理方面一个大家，我素来敬佩，英国在数学物理方面的牛人确实不少。关于Hitchin模空间我了解很浅，尚待补课。倒是Einstein流形的Hitchin限制比较熟悉点。
langlands纲领是一个很大很大的课题，要看懂还真是让我为难：）