引力为什么要量子化？

发表于 2006年4月17日由李淼

有一个朋友问，有什么论证引力必须量子化的经典文章？我自己真的不知道，以为引力必须量子化是一个folk theorem。

许多人的论证是这样的：如果其它物质都量子化，引力和物质耦合，所以也要量子化。比如我们考虑一个电子产生的引力场，如果电子本身量子化了，不能看成是一个固定的质量源，那么很难描述电子所产生的引力场。我想这是一个很好的论据。反对的人会说，我们可以只考虑电子能－动量在一个量子态中的平均期待值，然后用这个平均期待值计算所产生的经典引力场。例如，制备一个电子的高斯波包，假定能量按照这个高斯波包分布，就可以计算经典引力场了。在广义相对论中，我们可以将爱因斯坦的方程的右边的能量－动量张量用场论中的期待值来代替。这个论点似乎没有任何问题。

仔细想一想，要想实现上面的做法还是有很大问题的。现在我必须用几个简单的公式来说明。在单个电子的情形，假定它的波包的尺度是 $L$ ，能量是 $E$ ，能量密度就是 $\mu={E\over L^3}$ 。根据测不准原理，密度的涨落是 $\delta\mu\sim \delta E/L^3\sim 1/L^4$ ，这里我们用自然单位。所以， ${\delta \mu/\mu}\sim 1/(EL)$ ，如果 $E$ 本身足够小，就有 $\delta \mu/\mu\sim 1$ ，这样，对单个电子或者任何单个粒子来说，引力场的定义是有问题的。当粒子数 $N$ 很大时，简单的统计告诉我们， $\delta E\sim \sqrt{N}$ ，而 $E\sim N$ ，所以 $\delta \mu/\mu\sim 1/\sqrt{N}$ ，用量子平均的方法定义经典引力场只有当 $N$ 足够大时才是可行的。

从电子产生引力场问题的另一个侧面可以看出引力必须量子化。如果我们将电子产生的引力场完全看成是经典的，我们会遇到当年Lorentz计算电子的电磁质量遇到的问题，在经典的层次上电子的电磁质量就会发散，Lorentz解决这个问题的办法是引入截断，例如假定电子有一个有限大小的尺寸，电荷在这个尺寸内均匀分布，这样得到的电子大小比电子的Compton半径要小一些。如果我们以类似的方法计算电子的引力半径，这个半径就是电子的Schwarzschild半径，远远小于Compton半径。根据测不准原理，在这个半径上电子的能量涨落远远大于电子质量（大约是 $M_p^2/m_e$ ），这当然不行。当然，我们可以假定电子的引力截断很大，毕竟经典引力的实验验证直到亚毫米。无论如何，我们需要引进一个新的尺度，或者新的能标，在这个能标之下，经典引力才是正确的。可是，另一个问题出来了。我们知道，Lorentz的截断违背狭义相对论，只有现代的质量重正化方案才不破坏狭义相对论。无论是在牛顿理论中还是在爱因斯坦理论中引入引力截断，都要在一个新的能标上破坏相对论性原理。

很久以前，Ted Jacobson写过一篇很有意思的文章，他指出，应用熵正比于视界面积的公式和热力学第一定律，就可以导出爱因斯坦场方程。一般来说，时空中的任一个点并不在事件视界上，但对于一个加速观察者，任何一点都可能成为视界上的一点，只要我们精心选择这个观测者。在他的解释中，爱因斯坦方程成了热力学中的状态方程。这个推导很有吸引力，也许有人会将引力解释成热力学现象。这样的话，我们就要放弃基本粒子会产生引力这个假设，因为任何单粒子都谈不上应用热力学。放弃单个粒子产生引力直接与实验矛盾，考虑一个宏观系统和一个试验粒子，宏观系统自然对试验粒子产生引力，如果试验粒子对宏观系统不产生引力，总系统就会破坏惯性定律。进一步，粒子的引力质量等效于惯性质量，特别是，一个简单系统的相互作用能也对引力质量作出贡献。

我个人最喜欢的一个引力必须量子化的论据（据我所知还没有别人告诉我这个论据），就是类似20世纪初Planck发现量子的那个黑体辐射的紫外灾难。在一个空腔中，假如电磁波处于热平衡态，在波数 $k$ 和 $k+dk$ 之间，自由度数是 $Vk^2dk$ （ $V$ 是体积，我们忽略了2和 $\pi$ 这样的因子），每个自由度的能量大约是 $T$ ，空腔中电磁波的能量是
$TV\int k^2dk$
这是发散的。Planck解决这个问题的办法是引进量子，也就是光子－虽然光子是后来爱因斯坦明确提出来的。现在，如果我们只承认经典引力波的存在而不承认引力子的存在，我们会遇到和上面完全一样的发散。我们可以引进经典引力的波数截断 $k_c$ ，就像处理电子的引力质量一样，得到空腔中的引力波能量
$TVk^3_c$
要求这个能量不能大到引起引力塌缩形成黑洞， $k_c$ 就有一个上限
$k_c^3<{1\over TL^2G}$
可见，空腔的尺度越大， $k_c$ 的上限越小。让我们夸张一点选择宇宙尺度作为 $L$ ，我们得到
$k_c^3<T^{-1}(10^{-5}ev)^4$
即使将微波背景辐射的温度带入上式，我们发现波数截断对应的波长截断远远大于1毫米。也许用宇宙尺度作为空腔尺度太夸张了，小尺度会带来小的截断波长，从而和现有的引力实验不矛盾。

除了以上的一些论据，我们熟悉的引力需要量子化的论点如下：

1. 宇宙的开始有奇点，黑洞塌缩有奇点，在奇点附近，经典引力理论完全失效，最有可能的是时空本身也失效，所以引力必须量子化。

2. 黑洞熵的存在隐含引力的全息原理，这个原理包含引力和所有其它相互作用。在一个低维的全息理论中，很难想象产生量子的物质而不产生量子引力。现在熟知的Maldacena理论完全是一个量子理论。

3. 这个论点也许大家并不熟知，但在我来说是最强的论点。宇宙的微波背景辐射涨落观测数据支持暴涨宇宙论，在暴涨宇宙论中，密度涨落由曲率涨落所引起，而后者与标量场一起作量子涨落才能实现。所以，我们几乎可以说引力的量子化有实验支持。如果未来的微波背景实验完全验证暴涨宇宙论，我们就完全可以说宇宙中的结构的形成是量子和引力的结果，而后者不仅仅是经典的。

4. FengCJ已经在跟帖中指出宇宙学常数问题的解决需要量子引力理论。

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中国科学院理论物理研究所研究员

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