上帝，Maxwell妖，吴君如
宇宙起源于一个极低熵态的难以理解可以用下面的例子来解释。
给你一个盒子，给你一个气体，大约由
个分子组成（例如
克氢气）。现在，你的任务是将这个气体放进盒子里，不仅如此，你还必须将整个气体局限于盒子的一半，盒子并没有用一个隔板分成两半。
毫无疑问，从统计的角度来说，这是一件不可能完成的任务。你并不能单个操纵分子，所以每个分子只有
的机会处于盒子的一半。这样，如果你放入气体的办法是随机的，那么你成功的几率是
不用说，这是一个小得可怕的数。
Maxwell曾经想象一个和分子一般大小的小妖，将盒子用隔板分成两半，隔板开一个很小的窗口，这样分子可以穿过窗口。每当一个或几个分子从右边移到左边时，小妖将窗口封闭，这样，分子就渐渐地被关到盒子的左边去。当然，考虑到有这么多的分子，小妖需要化很长的时间才能完成任务。如果我们假定他每秒钟移一百万个分子，那么他要花和现在宇宙年龄一样长的时间才能完成这个任务。
所以，上帝创世时要选择一个低熵的态的难度大得不可思议。这个难度到底有多大？我们保守地估计，现在可以观测到的宇宙的熵至少是
即一个googol这么大。如果宇宙起源于暴涨，我们知道，暴涨期宇宙的熵大约是
，所以，宇宙起源于暴涨的几率是
这么看来，上帝比Maxwell小妖要能干多了。
自然，在浪漫的传说中Maxwell小妖的确是存在的。不知道可爱的读者有没有看过吴君如等人主演的电影《花田喜事》，一个高中进士的家伙回来让吴君如洗脚，然后将吴君如的一盆墨汁似的洗脚水踢翻，让吴君如将覆水收回来。吴君如同学和她的朋友居然做到了。
我在前面谈到，人类存在的前提是热力学第二定律严格成立，也就是说宇宙过去的熵严格小于现在的熵，这个要求对上帝来说的确不是一个简单的要求。
Poincare循环，Boltzmann大脑
很多人会问，既然物理定律是时间反演不变的，那么为什么我们看不到熵减少的情况发生？例如，一个箱子里的气体，如果开始的时候气体局限在一个比较小的区域，随着时间增长，气体会逐渐占满整个箱子。拍一个电影回放，我们就会看到占据整个箱子的气体逐渐向一个角落里汇聚，这个不可能看到的过程。为什么这种物理定律允许的过程在自然界没有发生？答案是，要这种过程发生，我们要微调占据整个箱子的每一个分子。也就是说，如果只有几个分子没有微调到位，熵减少的情况就不会发生。换言之，一个从低熵演化出来的态虽然宏观熵大，但其微观态在所有相同的宏观态中非常特殊。
是不是熵减少的过程绝对不会发生呢？答案是否定的。Poincare在1890年发表了一个令人吃惊的定理。考虑一个占据有限体积，能量有限的系统，Poincare recurrence（循环）定理说，无论你的初始态如何，只要你等足够长的时间，系统会回到任意靠近这个初始态的一个态。
Poincare循环定理虽然令人吃惊，证明却很简单，见
proof of Poincaré recurrence theorem 1
到底需要多长时间这样的“覆水能收”的情况会发生？统计可以给一个简单的估计（但不是严格确定的答案）。假如你的初始态的熵是
，而系统最大可能的熵是
，那么，系统要回答初始态需要的时间是
我们用量子力学容易理解这个结果。如果系统的最大熵是，说明系统可能的态的数目是
，而初始态的可能数目是
，假如系统在某个时间单位里访问一个态，那么访问到初始态的时间就是上面给出的时间。
我们没有给出时间单位，因为时间单位在这里并不重要。具体的时间单位和系统的性质有关，可能是能级之间间距的倒数，也可能是这个倒数的一个修正，但不会影响上面的结果。
现在，让我们估计一个从一个平衡态系统突然通过Poincare循环机制涨落出一个人脑的可能性有多大。假定人脑的重量大约是10公斤，含有
个质子和中子。为了简单起见，假定我们的平衡态系统含有同样多的质子和中子，这样最大的熵大约是这个数字乘以单个粒子相空间的对数，我们忽略后面这个因子。假定人脑的状态非常特殊，它的熵远远小于最大熵，这样，从平衡态涨落出人脑所需的时间大约是
无论用什么单位，这是一个不可思议的时间，宇宙的年龄，以秒为单位，大约是
。
从平衡态涨落出来的人脑叫做Boltzmann大脑，是最近一些文章的主题。
为什么Boltzmann大脑突然得到这么多的关注？我们现在就可以解释了，前面提到，上帝创造宇宙的概率是
而从宇宙中涨落出一个Boltzmann的大脑的概率是
虽然也很小，但远远大于宇宙创生的概率。假如我们的宇宙是一个满足Poincare循环条件的系统，也就是说，是一个有限的系统（可能就是这样，后面再解释），那么上帝从这个系统中创造出低熵宇宙的可能远远小于创造出一个Boltzmann大脑的可能。假如宇宙在不断地做Poincare循环，那么我们得出结论，我们的存在是多么地幸运，因为宇宙的历史包含人类的发展史相比于Boltzmann大脑来说，是多么的罕见。
可是，一个Boltzmann大脑可能是白痴的大脑，也可能是爱因斯坦的大脑。既然是随机涨落出来的，是白痴的大脑的可能性更大，因为我相信一个没有记忆，没有知识的大脑的熵要远远大于爱因斯坦的大脑。那么，我们的宇宙为什么没有充斥着白痴？（自然，在有些人看来，情况恰恰相反，例如三表哥以为中国的绝大多数网友特别是新浪的网友是白痴）。
无聊还是深刻？
最近的一些文章，特别是从Page的一篇文章启发出来的一些文章，认为白痴大脑问题是landscape理论遇到的最大问题。
我现在坐在Susskind在KIAS的巨大的办公室里写这篇博文。其实，所有这些无聊或者深刻的问题起源于Susskind及其学生在02年写的一篇文章：
Disturbing Implications of a Cosmological Constant
我下面会批判这些人的观点，据说Susskind本人最近也在思考白痴大脑的问题，我坐在他的办公室嘲笑他有点不地道。
先说明一下，所有研究Boltzmann大脑的人没有象我这样将这样的大脑称为白痴大脑，因为他们相信人择原理。如果人择原理是正确的，我们也许不应该问上帝为何选择了低熵的大爆炸，因为只有这样人类才能够演化出来。可是，如果有Boltzmann大脑存在，只要不是白痴的大脑，人择原理预言我们都是Boltzmann大脑，显然这不符合观察事实。
Susskind等人不是唯一试图说明宇宙起源于Poincare循环的，其实，我们的一位韩国朋友Dongsu Bak几乎同时做了同样的建议：
Thoughts on Big Bang
我们的加拿大朋友Don Page指出（他也曾不远万里来到中国，前年夏天到北京，后来在landscape工作），在一个固定的共动体积（随着宇宙膨胀而膨胀）里，Boltzmann大脑出现的几率无限大于我们观测到的宇宙演化史几率，如果所谓eternal 暴涨是正确的话，因为eternal暴涨使得一个固定的共动体积不断地产生更多的宇宙。所以他建议，我们的宇宙是不稳定的，大约在未来的200亿年内就会衰变，下面是他的文章的链接：
Is Our Universe Likely to Decay within 20 Billion Years?
Bousso同学稍后指出，如果将局限在因果钻石(causal diamond)内的系统看成是自给自足的系统，那么Page的问题不存在，因为我们不需要考虑eternal暴涨带来的无限多的宇宙。我很同情宇宙是一个自给自足的有限系统，因为暗能量的存在，这个系统有未来视界，就是说因果钻石是有限的。系统之外的宇宙我们永远观测不到，所以和我们的关系可以完全忽略，这样我们得到一个可以应用Poincare循环定理的系统。但我前面已经指出，在一个平衡态中产生白痴大脑的几率还是远远大于宇宙来源于大爆炸的几率。
Linde同学也写了一篇很长的文章讨论Boltzmann大脑问题：
Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem
自然，还有我们在前一个博文中提到的Banks的文章。据说Lee Smolin也来凑热闹了。
我觉得，不论这些人的解决方法如何，我们大可以怀疑这个问题到底存在不存在。
我们真的能肯定我们的宇宙是一个自给自足的系统吗？如果不是，那么宇宙起源于大爆炸就很容易理解：宇宙在大爆炸的那一刻只是过去一个更大的宇宙的一个极小部分，这个极小部分的熵很小就是很自然的了。由于引力可以通过暴涨帮助我们无中生有，那么后来的自由度和熵可以解释成是引力释放出来的。
即使我们可以认为宇宙是一个有限的、自给自足的系统，我们也许没有必要为白痴大脑或者上帝创生宇宙伤脑筋。因为我的一个看法是，已经发生的事情已经发生的概率严格等于1，既然发生了，我们就没有必要担心它的几率是如此之小。当然，人择原理在这个“李氏事后诸葛亮定律”下完全失去了意义。
我的这个“李氏事后诸葛亮定律”其实是一个很深刻的定律，似乎爱因斯坦过去也提起过，他说你恰好出生在这个时代而不是新石器时代或者古罗马时代的概率不需要去关心，因为你已经出生了。过去有一些老小资写了一本书，好像是最希望生活在宋代。谁不想生活中遇到李清照，甚或是潘金莲。可惜，已经发生的事已经发生了。
所以，既然大爆炸已经发生，无论发生的几率多么小，而在茫茫宇宙间涨落出白痴大脑的几率也许更大，但既然已经发生了大爆炸，我们就坦然接受这个事实。这种观点完全违背人择原理。
那么，是不是关于宇宙起源的问题就无需再问了？我觉得不然。我们可以问，我们观测到的宇宙来源于暴涨宇宙的几率大些，还是其它什么开端大些？真的存在多宇宙吗？我们的宇宙真的是如全息原理暗示的那样是一个自给自足的封闭系统吗？等等。
老实说我不知道什么样的问题是无聊的问题，什么样的问题是深刻的问题。不过我还是觉得Boltzmann大脑问题是个无聊问题。也许在许多Poincare循环中，真的就出现过这样那样的Boltzmann大脑。有一点必须承认并且无限地为之感恩，一个孤立在茫茫宇宙中的白痴大脑也许没有什么感情，一个孤立在茫茫宇宙中的比爱因斯坦还聪明的大脑意识到他自己是多么的孤独无援，那将是怎样悲哀的事？我们的宇宙是最幸福的宇宙。阿门。
最后，我觉得我们还是谨遵Feynman或者David Mermin的指示：
Shut up and calculate。
